BZOJ1965 [Ahoi2005]SHUFFLE 洗牌 快速幂

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题意概括

　　对于扑克牌的一次洗牌是这样定义的，将一叠N（N为偶数）张扑克牌平均分成上下两叠，取下面一叠的第一张作为新的一叠的第一张，然后取上面一叠的第一张作为新的一叠的第二张，再取下面一叠的第二张作为新的一叠的第三张……如此交替直到所有的牌取完。

　　经过一次洗牌，序列1 2 3 4 5 6变为4 1 5 2 6 3。当然，再对得到的序列进行一次洗牌，又会变为2 4 6 1 3 5。 游戏是这样的，如果给定长度为N的一叠扑克牌，并且牌面大小从1开始连续增加到N（不考虑花色），对这样的一叠扑克牌，进行M次洗牌。

　　扑克牌序列中第L张扑克牌的牌面大小是多少？

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题解

　　我们发现，一次操作其实就是把第i个位置的牌放到第(2*i) mod (n+1)个位置。

　　于是我们可以列出方程：

　　设答案为x，

　　x • 2^m Ξ L (mod (n + 1))

　　mod (n+1)条件下，2 的逆元是 n/2+1

　　故可以移项，得：

　　x = (n / 2 + 1)^m • L mod (n + 1)

　　于是快速幂跑一跑就可以了。

　　但是会有中间乘法溢出的情况。

　　一位一位乘就可以了。

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代码

#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
using namespace std;
typedef long long LL;
LL n,m,L,mod;
LL times(LL a,LL b){
	LL ans=0;
	for (int i=40;i>=0;i--){
		ans=(ans<<1)%mod;
		if ((b>>i)&1)
			ans=(ans+a)%mod;
	}
	return ans;
}
LL Pow(LL a,LL b){
	LL ans=1,now=a;
	while (b){
		if (b&1)
			ans=times(ans,now);
		now=times(now,now);
		b>>=1;
	}
	return ans;
}
int main(){
	scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&L);
	mod=n+1;
	printf("%lld",times(Pow(n/2+1,m),L));
	return 0;
}