luogu P4294 [WC2008]游览计划

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斯坦纳树例题。

斯坦纳树是这样一类问题：带权无向图上有K个关键点 求出包含这K个点的最小生成树。

也就是说 求最小生成树 但是 并不是整张图 仅限于K个点。

可以发现我们利用克鲁斯卡尔或者prim算法 求的都是整张图的最小生成树。

所以可以发现 这个斯坦纳树问题 其实是一个np困难问题 不存在多项式的时间复杂度。

可以考虑搜索或者状压了。

这道题共有100个点 其中有10个关键点 我们首选状压dp.

有状态 f[i][j][k]表示到了(i,j)这个点了 所经过的点集为k的最小代价。

可以发现我们的i,j 这个点可以先往左再往右走 什么的所以有一个比较显然的转移。

f[i][j][k]=min{f[i][j][s]+f[i][j][s^k]-val[i][j]};

还有一个转移 如果当前点 跑到其他地方了f[x][y][k]=min{f[i][j][k]+val[x][y]};

两个转移就完了。其中第一个状态转移方程 我们可以直接枚举子集来做。

第二个考虑跑spfa来进行迭代dp.

可以发现是可以跑dij 可能dij在稀疏图中并不优秀？我觉着没有spfa快。

const int MAXN=11;
int n,m,cnt,l,r;
int f[MAXN][MAXN][1<<10];
int a[MAXN][MAXN],vis[MAXN][MAXN];
pii pre[MAXN][MAXN][1<<10];
pii q[10010];
int dx[5]={0,0,0,1,-1};
int dy[5]={0,1,-1,0,0};
inline void spfa(int s)
{
	while(++l<=r)
	{
		pii w=q[l];vis[w.F][w.S]=0;
		rep(1,4,i)
		{
			int xx=w.F+dx[i];
			int yy=w.S+dy[i];
			if(xx<1||yy<1||xx>n||yy>m)continue;
			if(f[xx][yy][s]>f[w.F][w.S][s]+a[xx][yy])
			{
				f[xx][yy][s]=f[w.F][w.S][s]+a[xx][yy];
				pre[xx][yy][s]=w;
				if(!vis[xx][yy])vis[xx][yy]=1,q[++r]=mk(xx,yy);
			}
		}
	}
}
inline void get_path(int x,int y,int s)
{
	vis[x][y]=1;
	pii w=pre[x][y][s];
	if(!w.F&&!w.S)return;
	if(!w.F)get_path(x,y,w.S),get_path(x,y,w.S^s);
	else get_path(w.F,w.S,s);
}
int main()
{
	freopen("1.in","r",stdin);
	memset(f,0x3f,sizeof(f));
	get(n);get(m);int s1,s2;
	rep(1,n,i)rep(1,m,j)
	{
		get(a[i][j]);
		if(!a[i][j])s1=i,s2=j,++cnt,f[i][j][1<<(cnt-1)]=0;
	}
	int maxx=(1<<cnt)-1;
	rep(1,maxx,i)
	{
		l=r=0;
		for(int x=1;x<=n;++x)
			for(int y=1;y<=m;++y)
			{
				for(int s=i;s;s=i&(s-1))
					if(f[x][y][s]+f[x][y][s^i]-a[x][y]<f[x][y][i])
						f[x][y][i]=f[x][y][s]+f[x][y][s^i]-a[x][y],pre[x][y][i]=mk(0,s);
				if(f[x][y][i]<INF)
				{
					q[++r]=mk(x,y);
					vis[x][y]=1;
				}
			}
		spfa(i);
	}
	put(f[s1][s2][maxx]);
	get_path(s1,s2,maxx);
	rep(1,n,i)
	{
		rep(1,m,j)
		{
			if(!a[i][j])putchar('x');
			else putchar(vis[i][j]?'o':'_');
		}
		puts("");
	}
	return 0;
}