luogu P4719 【模板】动态 DP 矩阵乘法 + LCT

方法二：LCT+矩阵乘法

上文中，我们用线段树来维护重链上的各种矩阵转移.

第二种方法是将树链剖分替换为动态树.

我们知道，矩阵乘法 $\begin{bmatrix} F_{u,0} & F_{u,0}\\ F_{u,1}  & -\infty \end{bmatrix}\times\begin{bmatrix} F_{i,0}\\F_{i,1} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} F_{u,0}\\F_{u,1} \end{bmatrix}$ 中第一个矩阵中的每一个 $F_{u,k}$ 都是指考虑轻链时 $u$ 的 DP 值.

在 $LCT$ 中，树的轻重路径是交替变换的.

我们用维护子树信息的方式维护即可.

即设 $tmp$ 矩阵表示该点虚儿子的所有 DP 值的贡献（只是不包括重儿子）.

再设 $t$ 矩阵维护 $Splay$ 中的转移.

具体细节看看代码：

 

Code:

// luogu-judger-enable-o2
//Dynamic DP with LCT
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define setIO(s) freopen(s".in","r",stdin)
#define maxn 100002
#define inf 100000000
using namespace std;
//Link cut tree
void de()
{
    printf("ok\n");
}
namespace LCT
{     

    struct Matrix
    {
        ll a[2][2];
        ll*operator[](int x){ return a[x];}
    }t[maxn],tmp[maxn];
    Matrix operator*(Matrix a,Matrix b)
    {
    	Matrix c;
    	c[0][0]=max(a[0][0]+b[0][0],a[0][1]+b[1][0]);
    	c[0][1]=max(a[0][0]+b[0][1],a[0][1]+b[1][1]);
    	c[1][0]=max(a[1][0]+b[0][0],a[1][1]+b[1][0]);
    	c[1][1]=max(a[1][0]+b[0][1],a[1][1]+b[1][1]);
    	return c;
    }

    //tmp :: 虚儿子信息
    //t :: 树剖实际转移矩阵
    #define lson ch[x][0]
    #define rson ch[x][1]
    int ch[maxn][2],f[maxn];
    int isRoot(int x)
    {
        return !(ch[f[x]][0]==x || ch[f[x]][1]==x);
    }
    int get(int x)
    {
        return ch[f[x]][1]==x;
    }
    void pushup(int x)
    {
        t[x]=tmp[x];
        if(lson) t[x]=t[lson]*t[x];
        if(rson) t[x]=t[x]*t[rson];
    }
    void rotate(int x)
    {
        int old=f[x],fold=f[old],which=get(x);
        if(!isRoot(old)) ch[fold][ch[fold][1]==old]=x;
        ch[old][which]=ch[x][which^1],f[ch[old][which]]=old;
        ch[x][which^1]=old,f[old]=x,f[x]=fold;
        pushup(old),pushup(x);
    }
    void splay(int x)
    {
        int u=x;
        while(!isRoot(u)) u=f[u];
        u=f[u];
        for(int fa;(fa=f[x])!=u;rotate(x))
            if(f[fa]!=u) rotate(get(fa)==get(x)?fa:x);
    }
    void Access(int x)
    {
        for(int y=0;x;y=x,x=f[x])
        {
            splay(x);
            if(rson)
            {
                tmp[x][0][0]+=max(t[rson][0][0],t[rson][1][0]);
                tmp[x][1][0]+=t[rson][0][0];
            }
            if(y)
            {
                tmp[x][0][0]-=max(t[y][0][0],t[y][1][0]);
                tmp[x][1][0]-=t[y][0][0];
            }
            tmp[x][0][1]=tmp[x][0][0];
            rson=y,pushup(x);
        }
    }
};     

//variables
int DP[maxn][2];
int V[maxn],hd[maxn],to[maxn<<1],nex[maxn<<1];
int n,Q,edges;
void add(int u,int v){ nex[++edges]=hd[u],hd[u]=edges,to[edges]=v;  } 

//build graph
void dfs(int u,int ff)
{
    LCT::f[u]=ff;
    DP[u][0]=0;
    DP[u][1]=V[u];
    for(int i=hd[u];i;i=nex[i])
    {
        int v=to[i];
        if(v==ff) continue;
        dfs(v,u);
        DP[u][0]+=max(DP[v][1],DP[v][0]);
        DP[u][1]+=DP[v][0];
    }
    LCT::tmp[u]=(LCT::Matrix){ DP[u][0], DP[u][0], DP[u][1], -inf};
    LCT::t[u]=LCT::tmp[u];
}

//主程序~
int main()
{
    // setIO("input");
    scanf("%d%d",&n,&Q);
    for(int i=1;i<=n;++i) scanf("%d",&V[i]);
    for(int i=1,u,v;i<n;++i)
    {
        scanf("%d%d",&u,&v);
        add(u,v),add(v,u);
    }
    dfs(1,0);
    while(Q--)
    {
        int x,y;
        scanf("%d%d",&x,&y);
        LCT::Access(x);
        LCT::splay(x);
        LCT::tmp[x][1][0]+=(ll)y-V[x];
        V[x]=y;
        LCT::pushup(x);
        LCT::splay(1);
        printf("%lld\n",max(LCT::t[1][0][0], LCT::t[1][1][0]));
    }
    return 0;
}