51Nod：1265 四点共面

计算几何

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1265 四点共面 

基准时间限制：1 秒 空间限制：131072 KB 分值: 0 难度：基础题

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给出三维空间上的四个点（点与点的位置均不相同），判断这4个点是否在同一个平面内（4点共线也算共面）。如果共面，输出"Yes"，否则输出"No"。

Input

第1行：一个数T，表示输入的测试数量(1 <= T <= 1000)
第2 - 4T + 1行：每行4行表示一组数据，每行3个数，x, y, z, 表示该点的位置坐标(-1000 <= x, y, z <= 1000)。

Output

输出共T行，如果共面输出"Yes"，否则输出"No"。

Input示例

1
1 2 0
2 3 0
4 0 0
0 0 0

Output示例

Yes

李陶冶 (题目提供者)

C++的运行时限为：1000 ms ，空间限制为：131072 KB 示例及语言说明请按这里

将四个点换成三个向量，然后判断三阶行列式（谁知道是什么鬼）是否为0，为0表示三个向量共面。

粘一个百度上搜到的计算方法：

标准方法是在已给行列式的右边添加已给行列式的第一列、第二列。我们把行列式的左上角到右下角的对角线称为主对角线，把右上角到左下角的对角线称为次对角线。这时，三阶行列式的值等于主对角线的三个数的积与和主对角线平行的三个对角线上的数的积的和减去次对角线的三个数的积与和次对角线平行的对角线上三个数的积的和的差。

例如

a1   a2   a3

b1   b2   b3

c1   c2   c3

结果为 a1*b2*c3+b1*c2*a3+c1*a2*b3-a3*b2*c1-b3*c2*a1-c3*a2*b1(注意对角线就容易记住了）

这里一共是六项相加减，整理下可以这么记：

a1*(b2*c3-b3*c2) + a2*(b3*c1-b1*c3) + a3*(b1*c2-b2*c1)

此时可以记住为：

a1*a1的代数余子式+a2*a2的代数余子式+a3*+a3的代数余子式

某个数的代数余子式是指删去那个数所在的行和列后剩下的行列式。

行列式的每一项要求：不同行不同列的数字相乘

如选了a1则与其相乘的数只能在2，3行2，3列中找，（即在 b2 b3 中找）

c2 c3

而a1(b2·c3-b3·c2)-a2(b1·c3-b3·c1)+a3(b1·c2-b2·c1)是用了行列式展开运算：即行列式等于它每行的每一个数乘以它的代数余子式之和 　　某个数的代数余子式是指删去那个数所在的行和列后剩下的行列式。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct wzy{
	double x,y,z;
}p[5];
int main()
{
	int t;
	double x1,y1,z1;
	double x2,y2,z2;
	double x3,y3,z3;
	cin>>t;
	while(t--)
	{
		for(int i=0;i<4;i++) cin>>p[i].x>>p[i].y>>p[i].z;
		x1=p[1].x-p[0].x;y1=p[1].y-p[0].y;z1=p[1].z-p[0].z;
		x2=p[1].x-p[2].x;y2=p[1].y-p[2].y;z2=p[1].z-p[2].z;
		x3=p[1].x-p[3].x;y3=p[1].y-p[3].y;z3=p[1].z-p[3].z;
		if(x1*y2*z3+y1*z2*x3+z1*x2*y3-z1*y2*x3-x1*y3*z2-y1*x2*z3==0) cout<<"Yes"<<endl;//三阶行列式为零，共面
		else cout<<"No"<<endl;
	}
	return 0;
}