[问题2014S08]  设分块上三角阵 \[A=\begin{bmatrix} A_1 & B \\ 0 & A_2 \end{bmatrix},\] 其中 \(m\) 阶方阵 \(A_1\) 的 Jordan 标准型为 \(J_1\), \(n\) 阶方阵 \(A_2\) 的 Jordan 标准型为 \(J_2\), 并且 \(A_1,A_2\) 没有公共的特征值. 证明: 矩阵 \(A\) 的 Jordan 标准型就是 \[\begin{bmatrix} J_1 & 0 \\ 0 & J_2 \end{bmatrix}.\]

注  (1) 本题是复旦高代教材第 293 页复习题 15 的推广, 在那道题目中, \(A_1,A_2\) 的 Jordan 标准型 \(J_1,J_2\) 都只由一个 Jordan 块构成, 这里我们取消了这个限制.

(2) 由本题还可以得到如下推论: 如果 \(A_1,A_2\) 都可以对角化, 并且 \(A_1,A_2\) 没有公共的特征值, 那么矩阵 \(A\) 也可以对角化. 这个推论是复旦高代教材第 249 页复习题 7 的推广.

(3) 在本题中, \(A_1,A_2\) 没有公共的特征值是最本质的条件. 有了这个条件, 不管 \(B\) 是怎样的矩阵, 都对 \(A\) 的 Jordan 标准型不产生任何影响; 但如果没有这个条件, 一般情况下结论并不成立. 比如我们看如下例子: 设 \(A_1=A_2=(1)\), \(B=(1)\), 则 \(A\) 的 Jordan 标准型不是 \(I_2\), 而是 \(J_2(1)\).

[问题2014S08] 复旦高等代数II（13级）每周一题（第八教学周）的更多相关文章

  1. [问题2014S01] 复旦高等代数II（13级）每周一题（第一教学周）

    问题2014S01  设 \(f(x_1,x_2,\cdots,x_n)\) 是次数等于 2 的 \(n\) 元实系数多项式, \(S\) 是使得 \(f(x_1,x_2,\cdots,x_n)\) ...

  2. [问题2014S09] 复旦高等代数II（13级）每周一题（第九教学周）

    [问题2014S09]  证明: \(n\) 阶方阵 \(A\) 与所有的 \(A^m\,(m\geq 1)\) 都相似的充分必要条件是 \(A\) 的 Jordan 标准型为 \[\mathrm{d ...

  3. [问题2014S02] 复旦高等代数II（13级）每周一题（第二教学周）

    问题2014S02  设实系数多项式 \begin{eqnarray*}f(x) &=& a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0, \\ g(x) ...

  4. [问题2015S01] 复旦高等代数 II（14级）每周一题（第二教学周）

    [问题2015S01]  设 \(M_n(\mathbb{R})\) 是 \(n\) 阶实方阵全体构成的实线性空间, \(\varphi\) 是 \(M_n(\mathbb{R})\) 上的线性变换, ...

  5. [问题2015S08] 复旦高等代数 II（14级）每周一题（第九教学周）

    [问题2015S08]  设 \(A\) 为 \(n\) 阶复方阵, 证明: \(A\overline{A}\) 与 \(\overline{A}A\) 相似, 其中 \(\overline{A}\) ...

  6. [问题2014A07] 复旦高等代数 I（14级）每周一题（第九教学周）

    [问题2014A07]  设 \(A\) 是有理数域 \(\mathbb{Q}\) 上的 4 阶方阵, \(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4\) 是 \(\mat ...

  7. [问题2014S12] 复旦高等代数II（13级）每周一题（第十二教学周）

    [问题2014S12]  设 \(A,B\) 都是 \(n\) 阶半正定实对称阵, 证明: \(AB\) 的所有特征值都是非负实数. 进一步, 若 \(A,B\) 都是正定实对称阵, 证明: \(AB ...

  8. [问题2014S06] 复旦高等代数II（13级）每周一题（第六教学周）

    [问题2014S06]  试用有理标准型理论证明13级高等代数I期末考试最后一题: 设 \(V\) 为数域 \(K\) 上的 \(n\) 维线性空间,  \(\varphi\) 为 \(V\) 上的线 ...

  9. [问题2014S03] 复旦高等代数II（13级）每周一题（第三教学周）

    [问题2014S03]  设 \(A\in M_n(\mathbb R)\) 是非异阵并且 \(A\) 的 \(n\) 个特征值都是实数. 若 \(A\) 的所有 \(n-1\) 阶主子式之和等于零, ...

随机推荐

  1. 修改RectTransform的宽度和高度

    rectTransform.sizeDelta = new Vector2( width, height);

  2. ubuntu下neural-style-master的demo

    1.Installing Torch 参考官网:http://torch.ch/docs/getting-started.html git clone https://github.com/torch ...

  3. Harris角点检测算法优化

    Harris角点检测算法优化 一.综述 用 Harris 算法进行检测,有三点不足:(1 )该算法不具有尺度不变性:(2 )该算法提取的角点是像素级的:(3 )该算法检测时间不是很令人满意. 基于以上 ...

  4. 节点操作-创建并添加&删除节点&替换&克隆节点

    <head><meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=utf-8" ...

  5. NTFS 权限讲解 ACL

    节选自:Securing Windows Server 2003 4.1 Protecting Files with NTFS File Permissions The primary techniq ...

  6. 【转载】James Whittaker：经营成功的测试职业生涯

    转注:这篇文章出自 James A. Whittaker ,但未找到原始出处/译者.如果有知道原始出处的朋友,可在评论这留言. 你是如何开始做测试工作的?  1989年,我在田纳西大学读研究生的时候, ...

  7. 蓝牙协议栈记录—BTStack

    TSTack User Guid 翻译过来的 1.简介 2.BTStack 架构 BTStack在所实现的协议和服务之间采用很多状态机实现相互作用,特点: <1>单线程.BTStack只有 ...

  8. js基础细节

    js细节 1.所有的全局变量都是window的属性. 语句 var a=1; 等价于 window.a=1; 用 "变量名称" in window 来验证全局变量是否声明. 2.所 ...

  9. 详解php的curl几个函数

    关于php的curl一系列函数,这里解释一下它们的作用. 在html中,我们可以通过form设置http的post和get提交,但假如我们获取的数据不是从html中来的,而是php脚本主动向其他服务器 ...

  10. mongodb配置

    Mongodb1. 安装2. CRUD3. 索引4. 副本及(replica sets)5. 分片(sharding) nosql 简单数据模型 元数据和应用数据分离 弱一致性 优势: 避免不必要的复 ...