6.12友谊赛T4城市交通费题解

与普通的最短路径不同的是，题目中新引入了一个计入总体的费用——城市建设费。由于城市建设费由整体的某最大值决定，导致解没有最优子结构的性质，给思维带来难度。

既然最棘手的是城市建设费，我们就对它分类讨论。为了分类有效，我们先把城市繁华度从小到大排个序，这样分类讨论时当前路径的城市的最大繁华度即为不严格递增的。这样，我们便可以考虑当前路径只可能经过前k个最不繁华的城市（可以不经过，但只要经过，经过的城市就一定在那前k个最不繁华的城市中），让k从小到大递增(每次+1)至n，对于每个k值，更新一下最短路径，再看一下第k个最不繁华的城市是否可以更新答案。由此我们想到了FLOYD算法。

见AC代码：

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<algorithm>
 #include<cctype>
 #include<cstring>

 using namespace std;

 int ans,n,m,q,a[][],f[][],p[],t[];

 char ch;

 int read()
 {
     ans=;
     ch=getchar();
     while(!isdigit(ch)) ch=getchar();
     while(isdigit(ch)) ans=(ans<<)+(ans<<)+ch-'',ch=getchar();
     return ans;
 }

 int cmp(int x,int y)//排序最终效果：把t数组排序，使t数组满足编号为ti的城市是第i个最不繁华的城市
 {
     return p[x]<p[y];
 }

 int main()
 {
 //    freopen("road.in","r",stdin);
 //    freopen("road.out","w",stdout);
     memset(a,,sizeof a);//把a数组（存两点间最短路径）初始化为一个足以解题的无穷大
     n=read(),m=read(),q=read();
     for(int i=;i<=n;i++) p[i]=read();
     for(int i=;i<=n;i++) t[i]=i;//一开始t数组应有所有城市的编号，所以不能忘了初始化
     int u,v,w;
     for(int i=;i<=m;i++)
     {
         u=read(),v=read(),w=read();
         a[u][v]=min(a[u][v],w);//用邻接矩阵存边不要忘了防重边
         a[v][u]=min(a[v][u],w);
     }
     for(int i=;i<=n;i++) a[i][i]=;
     for(int i=;i<=n;i++) //初始化两城市直接连通(路径不经过其他任何城市）的情况
         for(int j=;j<=n;j++)
         f[i][j]=a[i][j]+max(p[i],p[j]);
     sort(t+,t++n,cmp);
     for(int k=;k<=n;k++)//当FLOYD的最外层循环枚举到k是，路径经过的中间城市只可能是前k个最不繁华的城市（因为目前只用他们进行了松弛操作）
         for(int i=;i<=n;i++)
             for(int j=;j<=n;j++)
             {
                 a[i][j]=min(a[i][j],a[i][t[k]]+a[t[k]][j]);
                 f[i][j]=min(f[i][j],a[i][j]+max(p[i],max(p[j],p[t[k]])));
             }
     for(int i=;i<=q;i++)
     {
         u=read();v=read();
         printf("%d\n",f[u][v]);
     }
     return ;
 }

总结：算法中有很多细节。初始时的边界条件要记得考虑。如果一开始对某个变量的有要求，就不能忘了初始化。用邻接矩阵存边的话不要忘了去重边。