NYOJ 42 一笔画问题 （并查集+欧拉回路 ）

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描述

zyc从小就比较喜欢玩一些小游戏，其中就包括画一笔画，他想请你帮他写一个程序，判断一个图是否能够用一笔画下来。

规定，所有的边都只能画一次，不能重复画。

• 输入
  
  第一行只有一个正整数N(N<=10)表示测试数据的组数。每组测试数据的第一行有两个正整数P,Q(P<=1000,Q<=2000)，分别表示这个画中有多少个顶点和多少条连线。（点的编号从1到P）随后的Q行，每行有两个正整数A,B(0<A,B<P)，表示编号为A和B的两点之间有连线。
• 输出
  
  如果存在符合条件的连线，则输出"Yes",如果不存在符合条件的连线，输出"No"。
• 样例输入
  
  2
  
  4 3
  
  1 2
  
  1 3
  
  1 4
  
  4 5
  
  1 2
  
  2 3
  
  1 3
  
  1 4
  
  3 4
• 样例输出
  
  No
  
  Yes

分析：

如果要想能够一笔画出来，这个图肯定是一个连通图，就是说所有的点都连在一块，如果用并查集的思想理解的话就是所有的点有一个共同的父节点。

然后就是要满足欧拉回路的思想：

欧拉图：节点度数全部为偶数；半欧拉图：有且只有两个度数为奇数的节点，这两种图都可以一笔画出，也就是说节点度为奇数的应该有0个或2个。

补充一下有向图的无向图的欧拉图：

1.无向连通图G是欧拉图，当且仅当G不含奇数度结点(G的所有结点度数为偶数)；

2.无向连通图G含有欧拉通路，当且仅当G有零个或两个奇数度的结点；

3.有向连通图D是欧拉图，当且仅当该图为连通图且D中每个结点的入度=出度

4.有向连通图D含有欧拉通路，当且仅当该图为连通图且D中除两个结点外，其余每个结点的入度=出度，且此两点满足deg－(u)－deg+(v)=±1。（起始点s的入度=出度-1，结束点t的出度=入度-1 或两个点的入度=出度）

代码：

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<iostream>
using namespace std;
int parent[1001];
int du[1001];
int n,m;
void init()
{
    for(int i=1; i<=n; i++)
        parent[i]=i;
    memset(du,0,sizeof(du));
}
int Find(int x)
{
    if(x==parent[x])
        return x;
    else
        return parent[x]=Find(parent[x]);
}

void He(int a,int b)
{
    int x=Find(a);
    int y=Find(b);
    if(x!=y)
        parent[x]=y;
}
int main()
{
    int T,a,b;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d%d",&n,&m);
        init();
        while(m--)
        {
            scanf("%d%d",&a,&b);
            du[a]++;///每个点的度都应该加
            du[b]++;
            He(a,b);///并查集将两个点合并起来
        }
        int sum=0,data=0;
        for(int i=1; i<=n; i++)
        {
            if(parent[i]==i)///找出父节点是本身的所有点
                sum++;
            if(du[i]&1)///度为奇数的节点个数
                data++;
        }
        // cout<<"sum==="<<sum<<endl;
        if(sum>1)///没有将所有的点联通起来
        {
            printf("No\n");
            continue;
        }
        //cout<<data<<"   data--"<<endl;
        if(data==0||data==2)///满足度为奇数的点的个数是0或2
            printf("Yes\n");
        else
            printf("No\n");
    }
    return 0;
}