题目描述

求解 \(n\) 个盘子 \(4\) 座塔的 Hanoi 问题最少需要多少步

问题分析

考虑 \(3\) 座塔的 Hanoi 问题，记 \(f[i]\) 表示最少需要多少步， 则 \(f[i] = 2 * f[i - 1] + 1\) ， 即把前 \(n - 1\) 个盘子从 \(A\) 移动到 \(B\), 然后把最下面的盘子移动到 \(C\)， 最终把前面的 \(n - 1\) 个盘子移到 \(C\)

考虑把4个盘子的情况转移到三个的情况，则有 \[f[i] = \min_{1 \le i < n} \{2 * f[i] + d[n - i]\}\]

其中 \(f[1] = 1\).上式的意义是先把 \(i\) 个盘子在 \(4\) 她模式下移动到 \(B\) 柱，然后把 \(n-i\) 个盘子在 \(3\)塔模式下移到 \(D\) 柱。最后把 \(i\) 个盘子在 \(4\) 塔模式下移到 \(D\)柱，考虑所有可能的 \(I\) 取最小值，就是上述式子的意义。

推广

考虑 \(n\) 个盘子在 \(m\) 个塔下的最小值。式子与上述一样，增加一位表示第几种，复杂度 \(n^3\)

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