[问题2014S12]  设 \(A,B\) 都是 \(n\) 阶半正定实对称阵, 证明: \(AB\) 的所有特征值都是非负实数. 进一步, 若 \(A,B\) 都是正定实对称阵, 证明: \(AB\) 的所有特征值都是正实数. [公告]  关于本学期复旦高等代数II(13级)每周一题,新题的公布到第十五教学周为止(即本学期一共公布 15 道思考题), 解答的公布到第十七教学周为止(通常滞后两周). [推荐]  请 13 级的同学到以下网址下载<数学之美,吴军著>一书,希望即将学完一年大学数…

[问题2015S11]  证明: 任一复方阵都相似于一个复对称阵. 举例说明: 存在实方阵, 它不相似于实对称阵. 问题解答请在以下网址下载:http://pan.baidu.com/share/home?uk=103502710#category/type=0…

[问题2015S02]  设 \(a,b,c\) 为复数且 \(bc\neq 0\), 证明下列 \(n\) 阶方阵 \(A\) 可对角化: \[A=\begin{pmatrix} a & b &   &   & & \\ c & a & b &   & & \\  & c & a & b & & \\ &   & \ddots & \ddots & \d…

[问题2015S03]  设 \(g(x)=x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_{n-1}x+a_n\) 是数域 \(\mathbb{K}\) 上的多项式, \(V\) 是 \(\mathbb{K}\) 上的 \(n\) 维线性空间, \(\varphi\) 是 \(V\) 上的线性变换, \(\alpha_1\neq 0,\alpha_2,\cdots,\alpha_n\) 是 \(V\) 中的向量, 满足 \[\varphi(\alpha_1)=\alpha_2,\,\varph…

[问题2015S04] 设 \(A\) 为 \(n\) 阶方阵, \(C\) 为 \(k\times n\) 矩阵, 且对任意的 \(\lambda\in\mathbb{C}\), \(\begin{pmatrix}A-\lambda I_n\\ C \end{pmatrix}\) 均为列满秩阵. 证明: 对任意的 \(\lambda\in\mathbb{C}\), \(\begin{pmatrix}C \\ C(A-\lambda I_n) \\ C(A-\lambda I_n)^2 \\ \…

[问题2015S05]  设 \(A\) 是 \(n\) 阶复方阵, 证明: \(A\) 可对角化的充分必要条件是 \(A\) 相似于某个如下的循环矩阵: \[C=\begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 & \cdots & a_n\\ a_n & a_1 & a_2 & \cdots & a_{n-1}\\ a_{n-1} & a_n & a_1 & \cdots & a_{n-2}\…

[问题2015S06]  设 \(V\) 是数域 \(\mathbb{K}\) 上的 \(n\) 维线性空间, \(\varphi\) 是 \(V\) 上的线性变换. (1) 求证: 对任一非零向量 \(\alpha\in V\), \(U=L(\alpha,\varphi(\alpha),\varphi^2(\alpha),\cdots)\) 是包含 \(\alpha\) 的最小的 \(\varphi\)-不变子空间. 子空间 \(U\) 称为 \(\alpha\) 关于 \(\varphi\…

[问题2015S07]  设 \(A\) 为 \(n\) 阶复方阵, 证明: 存在 \(n\) 阶非异复对称阵 \(S\), 使得 \(A'=S^{-1}AS\), 即 \(A\) 可通过非异复对称阵相似于其转置 \(A'\). 问题解答请在以下网址下载:http://pan.baidu.com/share/home?uk=103502710#category/type=0…

[问题2015S10]  设 \(A\) 为 \(n\) 阶实方阵, 证明: 存在 \(n\) 阶非异实对称阵 \(R\), 使得 \(A'=R^{-1}AR\), 即 \(A\) 可通过非异实对称阵相似于其转置 \(A'\). 问题解答请在以下网址下载:http://pan.baidu.com/share/home?uk=103502710#category/type=0…

[问题2015S12]  设 \(A\) 为 \(n\) 阶实矩阵, 若对任意的非零 \(n\) 维实列向量 \(\alpha\), 总有 \(\alpha'A\alpha>0\), 则称 \(A\) 为亚正定阵. 显然, 如果 \(A\) 既是实对称阵, 又是亚正定阵, 那么 \(A\) 就是正定阵. 以下设 \(A,B\) 都是 \(n\) 阶亚正定阵, \(c\) 是正实数, 求证: (1) \(A\) 是亚正定阵的充要条件是 \(A+A'\) 是正定阵; (2) \(A\) 的特征值的实…