题目链接 换一下形式:\[f_i=\sum_{j=0}^{i-1}f_jg_{i-j}\] 然后就是分治FFT模板了\[f_{i,i\in[mid+1,r]}=\sum_{j=l}^{mid}f_jg_{i-j}+\sum_{j=mid+1}^rf_jg_{i-j}\] 复杂度\(O(n\log^2n)\). 分治思路见:https://www.cnblogs.com/SovietPower/p/9366763.html 多项式求逆做法先坑着. //693ms 4.91MB #include <…

题目要我们求$f[i]=\sum\limits_{j=1}^{i}f[i-j]g[j]\;mod\;998244353$ 直接上$NTT$肯定是不行的,我们不能利用尚未求得的项卷积 所以要用$CDQ$分治,先递归$[l,mid]$,然后处理$[l,mid]$对$[mid+1,r]$的影响,再递归$[mid+1,r]$ 当我们处理$[l,mid]$对$[mid+1,r]$的影响时,$f[i](i\in [l,mid])$的是已经求完的,所以能用$NTT$卷积 细节比较多,注意不要让$f[i](i\…

粘板子: #include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> using namespace std; typedef long long ll; const int MOD = 998244353; const int N = 100050; const int M = N*3; template<typename T> inline void read(T&x) { T f = 1,c =…

给定 $g[1....n-1]$,求 $f[0],f[1],...,f[n-1]$,其中   $f[i]=\sum_{j=1}^{i}f[i-j]g[j]$    变界为 $f[0]=1$ 答案模 998244353   分治 $FFT$:类似 $CDQ$ 分治,先处理左边,再处理左对右的贡献   假设当前的区间为 $[l,r]$,已经处理完 $[l,mid]$ 的所有 $f$ 值,考虑左面对右面的贡献   右面所有 $f$ 的下标为 $[mid+1,r]$   那么 $f[l,mid]*g[1…

FFT study from: http://www.orchidany.cf/2019/02/19/FFT1/ https://www.cnblogs.com/zwfymqz/p/8244902.html e^iθ=cosθ+isinθ 重新写了一遍…… A(x)=F(x)*G(x) F(x),G(x),A(x)分别为n,m,n+m次多项式 对于任意x,A(x),F(x),G(x)都是一个特定的数值. F(x),G(x)为什么可以进行系数表示法和点值表示法的互换? 因为它们是k次多项式,如使用…

再探快速傅里叶变换(FFT)学习笔记(其三)(循环卷积的Bluestein算法+分治FFT+FFT的优化+任意模数NTT) 目录 再探快速傅里叶变换(FFT)学习笔记(其三)(循环卷积的Bluestein算法+分治FFT+FFT的优化+任意模数NTT) 写在前面 一些约定 循环卷积 DFT卷积的本质 Bluestein's Algorithm 例题 分治FFT 例题 FFT的弱常数优化 复杂算式中减少FFT次数 例题 利用循环卷积 小范围暴力 例题 快速幂乘法次数的优化 FFT的强常数优化 DF…

传送门 大意:ACM校队一共有n名队员,从1到n标号,现在n名队员要组成若干支队伍,每支队伍至多有m名队员,求一共有多少种不同的组队方案.两个组队方案被视为不同的,当且仅当存在至少一名队员在两种方案中有不同的队友. 这年头真是--分治FFT都开始烂大街了-- 我们来推一推吧 这显然是一个1d1d的DP,用f[i]表示i名队员的方案数 f[i]=∑j=0i−1f[i−j−1]∗Cji−1 即i−1个人里面选j个和i组队(似乎类似strling数) 然后化一下简,便可得到 f[i]=(i−1)!∑j…

题目大意 有\(n\)种颜色的球,第\(i\)种有\(a_i\)个.设\(m=\sum a_i\).你要把这\(m\)个小球排成一排.有\(q\)个询问,每次给你一个\(x\),问你有多少种方案使得相邻的小球同色的对数为\(x\). \(n\leq 10000,m\leq 200000\) 题解 我们考虑把这些小球分段,每段内所有小球颜色相同,但相邻两段的小球颜色可以相同. 设第\(i\)种颜色有\(b_i\)段,那么分\(j\)段的方案数是\(\frac{(\sum b_i)!}{\sum(b…

题目描述 在一个 \(n\) 个点的有向图中,编号从 \(1\) 到 \(n\),任意两个点之间都有且仅有一条有向边.现在已知一些单向的简单路径(路径上任意两点各不相同),例如 \(2\to 4\to 1\).且已知的这些简单路径之间没有公共的顶点,其 余的边的方向等概率随机. 你需要求出强连通分量(如果同时存在 \(a\) 到 \(b\), \(b\) 到 \(a\) 的有向路径,则 \(a\), \(b\) 属于同一个强联通分量) 的期望个数.如果最后答案是 \(\frac{A}{B}\),…

题目描述 有一个\(n\)个元素的置换,你要选择\(k\)个元素,问有多少种方案满足:对于每个轮换,你都选择了其中的一个元素. 对\(998244353\)取模. \(k\leq n\leq 152501\) 题解 吐槽 为什么一道FFT题要把\(n\)设为\(150000\)? 解法一 先把轮换拆出来. 直接DP. 设\(f_{i,j}\)为前\(i\)个轮换选择了\(j\)个元素,且每个轮换都选择了至少一个元素的方案数. \[ f_{i,j}=\sum_{k=1}^{a_i}f_{i-1,j…

CTT=清华集训 题目大意 有\(n\)个点,点权为\(a_i\),你要连接一条边,使该图变成一颗树. 对于一种连边方案\(T\),设第\(i\)个点的度数为\(d_i\),那么这棵树的价值为: \[ val(T)=(\prod_{i=1}^na_i^{d_i}d_i^m)(\sum_{i=1}^nd_i^m) \] 求所有生成树的价值和\(\bmod 998244353\) \(n\leq 30000,m\leq 30\) 题解 很容易想到prufer序列 先把式子化简: \[ \begin{…

题目描述 对于一个\(1\)到\(n\)的排列\(a_1,a_2,a_3,\ldots,a_n\),我们定义这个排列的\(P\)值和\(Q\)值: 对于每个\(a_i\),如果存在一个最小的\(j\)使得\(i<j\)且\(a_i<a_j\),那么将\(a_i\)和\(a_j\)连一条无向边.于是就得到一幅图.计算这幅图每个联通块的大小,将它们相乘,得到\(P\).记\(Q=P^k\). 对于\(1\)到\(n\)的所有排列,我们想知道它们的\(Q\)值之和.由于答案可能很大,请将答案对\(9…

题解 分治FFT 设\(f_i\)为\(i\)个点组成的无向图个数,\(g_i\)为\(i\)个点组成的无向连通图个数 经过简单的推导(枚举\(1\)所在的连通块大小),有: \[ f_i=2^{\frac{i(i-1)}{2}} \] \[ \begin{align} g_i&=f_i-\sum_{j=1}^{i-1}\binom{n-1}{j-1}g_jf_{i-j}\\ &=f_i-(i-1)!\sum_{j=1}^{i-1}\frac{g_j}{(j-1)!}\frac{f_{i-…

题目大意:你有$n$个操作和一个初始为$0$的变量$x$. 第$i$个操作为:以$P_i$的概率给$x$加上$A_i$,剩下$1-P_i$的概率给$x$乘上$B_i$. 你袭击生成了一个长度为$n$的排列$C$,并以此执行了第$C_1,C_2....C_n$个操作. 求执行完所有操作后,变量$x$的期望膜$998244353$的值. 数据范围:$n≤10^5,0≤P,A,B<998244353$ 我太菜了. 考虑如果并没有排列的要求,而是强行依次执行,会发生什么事情: 令$X_i$表示执行完前$…

目录 信号, 集合, 多项式, 以及卷积性变换 卷积 卷积性变换 傅里叶变换与信号 引入: 信号分析 变换的基础: 复数 傅里叶变换 离散傅里叶变换 FFT 与多项式 \(n\) 次单位复根 消去引理, 折半引理与求和引理 重新定义 多项式的表示 快速傅里叶变换FFT 通过 FFT 在单位复数根处插值 FFT的速度优化与迭代实现 炸精现场与 NTT 原根 NTT 任意模数 NTT 卷积状物体与分治 FFT FWT 与位运算卷积 FWT 与 \(\text{or}\) 卷积 FWT 与 \(\te…

瞎扯 虽然说是FFT但是还是写了一发NTT(笑) 然后忘了IDFT之后要除个n懵逼了好久 以及递归的时候忘了边界无限RE 思路 朴素算法 分治FFT 考虑到题目要求求这样的一个式子 \[ F_x=\Sigma_{i=1}^{x}F_{x-i}G_{i} \] 我们可以按定义暴力,然后再松式卡常(不是) 我们可以发现它长得像一个卷积一样,但是因为后面的f值会依赖与前面的f值,所以没法一遍FFT直接求出结果,而对每个f都跑一遍FFT太慢了,我们使用分治优化这个过程就很优秀了,复杂度是\(O(n\lo…

\[ \begin{aligned} Ans(k) &= \sum \limits_{i = 1}^n \sum \limits_{j = 1}^m \sum \limits_{t = 0}^k \binom{k}{t} a_i^t b_j^{k - t} \\ &= \sum \limits_{t = 0}^k \binom{k}{t} (\sum \limits_{i = 1}^n a_i^t) (\sum \limits_{j = 1}^m b_i^{k - t}) \\ &…

[BZOJ3451]normal 点分治,NTT 好久没更博了,咕咕咕. BZOJ3451权限题,上darkbzoj交吧. 一句话题意,求随机点分治的期望复杂度. 考虑计算每个点对的贡献:如果一个点在点分树上是另一个点的祖先,那么这个点对另一个点的贡献就是1,这样的话,这个点就必须是这两个点之间的链上的点中在点分树上深度最浅的点,由于链上每个点成为点分树上最浅的点的概率都是相等的,所以这个点对对最终的期望的贡献就是\(\frac{1}{dis(i, j) + 1}\),这里的\(dis(i, j…

考试一道题的递推式为$$f[i]=\sum_{j=1}^{i} j^k \times (i-1)! \times \frac{f[i-j]}{(i-j)!}$$这显然是一个卷积的形式,但$f$需要由自己卷过来(我也不知到怎么说),以前只会生成函数的做法,但这题好像做不了(谁教教我怎么做),于是无奈的写了一发暴力,看题解发现是分治FFT.分治每层用$f[l]-f[mid]$与$a[1]-a[r-l]$做NTT.这样显然每个$f[l]-f[mid]$对$f[mid+1]-f[r]$的贡献都考虑到了.…

https://blog.csdn.net/Maxwei_wzj/article/details/80714129 n个二项式相乘可以用分治+FFT的方法,使用空间回收可以只开log个数组. #include<cstdio> #include<algorithm> #define rep(i,l,r) for (int i=(l); i<=(r); i++) using namespace std; ,mod=; ],tmp[][N]; int ksm(int a,int b…

目录 分治FFT 目的 算法 代码 分治FFT 目的 解决这样一类式子: \[f[n] = \sum_{i = 0}^{n - 1}f[i]g[n - i]\] 算法 看上去跟普通卷积式子挺像的,但是由于计算\(f\)的每一项时都在利用它前面的项来产生贡献,所以不能一次FFT搞完.用FFT爆算复杂度\(O(n^2logn)\),比直接枚举复杂度还高-- 考虑优化这个算法,如果我们要计算区间\([l, r]\)内的\(f\)值,如果可以快速算出区间\([l, mid]\)内的\(f\)值对区间\(…

目录 FFT 系数表示法 点值表示法 复数 DFT(离散傅里叶变换) 单位根的性质 FFT(快速傅里叶变换) IFFT(快速傅里叶逆变换) NTT 阶 原根 扩展知识 FFT 参考blog: 十分简明易懂的FFT(快速傅里叶变换) 快速傅里叶变换(FFT)详解 (下面的图片是来自于这2篇博客里面的,仔细看可以发现右下角有水印--) 系数表示法 一个一元\(n\)次多项式\(f(x)\)可以被表示为:\[f(x) = \sum_{i = 0}^{n}a_{i}x^{i}\] 即用\(i\)次项的系…

P4721 [模板]分治 FFT 题目背景 也可用多项式求逆解决. 题目描述 给定长度为 \(n−1\) 的数组 \(g[1],g[2],\dots,g[n-1]\),求 \(f[0],f[1],\dots,f[n-1]\),其中\(f[i]=\sum_{j=1}^if[i-j]g[j]\) 边界为 \(f[0]=1\) .答案模 \(998244353\) . 输入输出格式 输入格式: 第一行一个正整数 \(n\) . 第二行共 \(n−1\) 个非负整数 \(g[1],g[2],\dots,…

题目大意:给定长度为$n-1$的数组$g_{[1,n)}$,求$f_{[0,n)}$,要求: $$f_i=\sum_{j=1}^if_{i-j}g_j\\f_0=1$$ 题解:直接求复杂度是$O(n^2)$,明显不可以通过此题 分治$FFT$,可以用$CDQ$分治,先求出$f_{[l,mid)}$,可以发现这部分对区间的$f_{[mid,r)}$的贡献是$f_{[l,mid)}*g_{[0,r-l)}$,卷出来加到对应位置就行了,复杂度$O(n\log_2^2n)​$ 卡点:无 C++ Code…

一般的分治FFT是指: https://www.luogu.org/problemnew/show/P4721 考虑后面的f和前面的f有关系,但是贡献可以分着计算,逐一累计上去. 考虑cdq分治.算出前面的[1,mid]的f之后,可以直接一次NTT,把后面[mid+1,r]的f的一部分算出来,累加上去. 对于后面的部分,发现都是一个前缀没有计算上.继续分治下去即可. 画个图就是这样. 细节注意: 1.边界, 2.0~n-1 3.四倍N的数组 4.注意之后每次都是NTT一个前缀. #include…

4836: [Lydsy1704月赛]二元运算 Time Limit: 8 Sec  Memory Limit: 128 MBSubmit: 578  Solved: 202[Submit][Status][Discuss] Description 定义二元运算 opt 满足 现在给定一个长为 n 的数列 a 和一个长为 m 的数列 b ,接下来有 q 次询问.每次询问给定一个数字 c  你需要求出有多少对 (i, j) 使得 a_i  opt b_j=c . Input 第一行是一个整数 T…

题目:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3456 分治FFT: 设 dp[ i ] 表示 i 个点时连通的方案数. 考虑算补集:连通的方案数 == 随便连方案数 - 不连通方案数 不连通方案数就和很久之前做过的“地震后的幻想乡”一样,枚举一个连通的点集,其中需要一直包含一个“划分点”保证不重复:其余部分随便连.注意还有从 i 个点里选 j 个点作为连通点集的那个组合数. \( dp[i]=2^{C^{2}_{i}} - \sum\l…

题目:https://www.luogu.org/problemnew/show/P4721 分治FFT:https://www.cnblogs.com/bztMinamoto/p/9749557.html https://blog.csdn.net/VictoryCzt/article/details/82939586 不知为何自己的总是很慢. 觉得是 n 和 m 表示次数的话,len<=n+m:n 和 m 表示项数的话,len<n+m:应该是这样? 这里是 mid-L+1 项和 R-L+1…

传送门 多项式求逆的解法看这里 我们考虑用分治 假设现在已经求出了$[l,mid]$的答案,要计算他们对$[mid+1,r]$的答案的影响 那么对右边部分的点$f_x$的影响就是$f_x+=\sum_{i=l}^{mid}f[i]g[x-i]$ 发现右边那个东西可以用卷积快速计算 那么只要一边分治一边跑FFT统计贡献就行了 说是分治FFT实际上代码里写的是NTT…… 而且分治FFT跑得好慢多项式求逆的速度是它的10倍啊…… //minamoto #include<iostream> #incl…

传送门 我是用多项式求逆做的因为分治FFT看不懂…… upd:分治FFT的看这里 话说这个万恶的生成函数到底是什么东西…… 我们令$F(x)=\sum_{i=0}^\infty f_ix^i,G(x)=\sum_{i=0}^\infty g_ix^i$,且$g_0=0$ 这俩玩意儿似乎就是$f(x)$和$g(x)$的生成函数 那么就有$$F(x)G(x)=\sum_{i=0}^\infty x^i\sum_{j+k=i}f_jg_k$$ 然后根据题目,有$$f_i=\sum_{j=1}^if_{…