LOJ 10155 - 「一本通 5.2 例 3」数字转换

前言

从现在开始，这个博客要写一些题解了。起初，开这个博客只是好玩一样，没事就写写CSS、JS，然后把博客前端搞成了现在这个样子。以前博客只是偶尔记录一些东西，刷题也从来不记录，最近受一些学长的影响，突然觉得写解题报告也很有意思，以后基本上做的题，除了太水的，都会在这上面更新。

一直很想买一个域名，然后用博客框架搭一个自己的博客，以前用 WordPress 和 Hexo 都搭过博客，但是域名续费、虚拟主机（虽然可以用 Hexo+GithubPage/CodingPage 搭静态博客，但更新不方便，也没法随时更新，例如在机房，所以还是需要 WordPress 等框架）的花费和阅读量比太小，没必要去搭，也试过用免费的虚拟主机（000webhost），免费的域名（.tk .cf 等），但毕竟免费，速度慢，网页有水印（虽然屏蔽了），域名国内搜索引擎还不予收录，所以就丢弃了。目前会用这个博客园的博客，而且可能会用下去（其实现在阅读体验和私有博客也没什么大的区别了）。

说了这么多，进入正题吧。

题面

传送门

如果一个数 $x$ 的约数和 $y$ （不包括他本身）比他本身小，那么 $x$ 可以变成 $y$ ， $y$ 也可以变成 $x$ 。例如 $4$ 可以变为 $3$ ， $1$ 可以变为 $7$ 。限定所有数字变换在不超过 $n$ 的正整数范围内进行，求不断进行数字变换且不出现重复数字的最多变换步数。

解题思路

这道题的标签是树形DP，但有一种更简便的做法。

首先我们可以预处理出 1~n 之间的转换关系，然后连边，形成一张图。

例如 4 的因数和是 3 ，那么 4 和 3 可以相互转换，那么在它们之间连一条有向边。

预处理完以后，我们得到了一张图。这个问题被转化成了求这张图的最长链。

那么怎么求图上的最长链呢？

从图上的任意一个结点开始，找到离这个结点最远的结点。然后再从这个结点找出离它最远的结点，它们之间的距离就是最长链的长度。

很明显，用 dfs 就可以求出最长链的长度了。我们首先从 1 开始 dfs（因为不管 n 是多少，点 1 必然存在），找到离它最远的结点，然后再 dfs 一遍，找到最远的结点就是答案。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long last[200005],to[200005],nextt[200005],v[200005],top=0,d[200005];
long long maxx=0,ans=0;
void add(int a,int b){//前向星
    nextt[++top]=last[a];
    to[top]=b;
    last[a]=top;
}
int n;
void dfs(int x,int t){
	v[x]=1;
	if (t>maxx){//如果当前的距离大于已知最长距离，那么更新距离并记录当前结点
		maxx=t;
		ans=x;
	}
	for (int i=last[x];i;i=nextt[i]){//搜索与当前结点有联系的结点
		if (!v[to[i]]){
			dfs(to[i],t+1);
		}
	}
}
int main(){
	cin>>n;
	for (int i=2;i<=n;i++){//预处理
		int tmp=1;
		for (int j=2;j<=sqrt(i);j++){
			if (i==j){
				break;
			}
			if (i%j==0){
				tmp+=j+i/j;
			}
		}
		if ((int)sqrt(i)*(int)sqrt(i)==i){
			tmp-=sqrt(i);
		}
		if (tmp>=i){//如果约数和大于等于其本身，那么跳过
			continue;
		}
		add(i,tmp);
		add(tmp,i);
	}
	dfs(1,0);
	maxx=0;
	memset(v,0,sizeof(v));
	dfs(ans,0);
	cout<<maxx;
}