bzoj 1874 取石子游戏题解 & SG函数初探

【原题】

1874: [BeiJing2009 WinterCamp]取石子游戏

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Description

小H和小Z正在玩一个取石子游戏。取石子游戏的规则是这种，每一个人每次能够从一堆石子中取出若干个石子，每次取石子的个数有限制，谁不能取石子时就会输掉游戏。小H先进行操作，他想问你他是否有必胜策略，假设有，第一步怎样取石子。

Input

输入文件的第一行为石子的堆数N 接下来N行，每行一个数Ai，表示每堆石子的个数接下来一行为每次取石子个数的种类数M 接下来M行，每行一个数Bi，表示每次能够取的石子个数，输入保证这M个数依照递增顺序排列。

Output

输出文件第一行为“YES”或者“NO”，表示小H是否有必胜策略。若结果为“YES”,则第二行包括两个数，第一个数表示从哪堆石子取，第二个数表示取多少个石子，若有多种答案，取第一个数最小的答案，若仍有多种答案，取第二个数最小的答案。

Sample Input

4

7

6

9

3

2

1

2

Sample Output

YES

1 1

Hint

例子中共同拥有四堆石子，石子个数分别为7、6、9、3，每人每次能够从不论什么一堆石子中取出1个或者2个石子，小H有必胜策略，其实仅仅要从第一堆石子中取一个石子就可以。

数据规模和约定

数据编号 N范围 Ai范围数据编号 N范围 Ai范围

1 N=2 Ai≤10 6 N≤10 Ai≤10

2 N=2 Ai≤1000 7 N≤10 Ai≤100

3 N=3 Ai≤100 8 N≤10 Ai≤1000

4 N≤10 Ai≤4 9 N≤10 Ai≤1000

5 N≤10 Ai≤7 10 N≤10 Ai≤1000

对于所有数据，M≤10，Bi≤10

HINT

Source

Day2

【分析】事实上我是心血来潮想大概学一下博弈论有关的题目。

首先是最简单的Nim游戏：有N堆石子，每次从一堆中取出不为空的石子，不能取者为负。推断先手是否必胜。有一个小小的结论：后手必胜当且仅当全部石子的异或和为0。

再麻烦一点。规定每次取的石子个数，比方每次仅仅能取1,3,4。我们先考虑仅仅有一堆石子。

（下面摘自那个博客）

首先定义mex(minimal excludant)运算，这是施加于一个集合的运算，表示最小的不属于这个集合的非负整数。比如mex{0,1,2,4}=3、mex{2,3,5}=0、mex{}=0。

对于一个给定的有向无环图，定义关于图的每一个顶点的Sprague-Grundy函数g例如以下：g(x)=mex{ g(y) | y是x的后继 },这里的g（x）即sg[x]

sg[0]=0，f[]={1,3,4},

x=1时，能够取走1-f{1}个石子，剩余{0}个，mex{sg[0]}={0}，故sg[1]=1;

x=2时，能够取走2-f{1}个石子，剩余{1}个，mex{sg[1]}={1}，故sg[2]=0；

x=3时，能够取走3-f{1,3}个石子，剩余{2,0}个，mex{sg[2],sg[0]}={0,0}，故sg[3]=1;

x=4时，能够取走4-f{1,3,4}个石子，剩余{3,1,0}个，mex{sg[3],sg[1],sg[0]}={1,1,0},故sg[4]=2;

x=5时，能够取走5-f{1,3,4}个石子，剩余{4,2,1}个，mex{sg[4],sg[2],sg[1]}={2,0,1},故sg[5]=3；

以此类推.....

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8....

sg[x] 0 1 0 1 2 3 2 0 1....

在这里，那个异或和的结论还是正确的。假设sg[N]=0，那么就存在后手必胜的策略。

可是假设有多堆石子，应该怎么办？直接把所有的SG所有异或起来，也是推断是否是0。

知道了这些结论，那道题也就成了傻题。前面是裸的SG，后面再枚举一下就可以。

【代码】

#include<cstdio>

#define N 1005

using namespace std;

int sg[N],f[N],hash[N],a[N],sum,temp,i,j,n,m;

void get_SG(int up)

{

  sg[0]=0;

  for (int i=1;i<=up;i++)

  {

    for (int j=1;f[j]<=i&&j<=m;j++)

      hash[sg[i-f[j]]]=i;

    for (int j=0;j<=up;j++)

      if (hash[j]!=i) {sg[i]=j;break;}

  }

}

int main()

{

  scanf("%d",&n);

  for (i=1;i<=n;i++)

    scanf("%d",&a[i]);

  scanf("%d",&m);

  for (i=1;i<=m;i++)

    scanf("%d",&f[i]);

  get_SG(1000);

  for (i=1;i<=n;i++) sum^=sg[a[i]];

  if (!sum) {printf("NO");return 0;}

  for (i=1;i<=n;i++)

  {

    temp=sum^sg[a[i]];

    for (j=1;f[j]<=a[i]&&j<=m;j++)

      if (!(temp^sg[a[i]-f[j]]))

      {

        printf("YES\n%d %d",i,f[j]);

        return 0;

      }

  }

}