BZOJ 1853 【Scoi2010】 幸运数字

Description

在中国，很多人都把6和8视为是幸运数字！lxhgww也这样认 为，于是他定义自己的“幸运号码”是十进制表示中只包含数字6和8的那些号码，比如68，666，888都是“幸运号码”！但是这种“幸运号码”总是太少 了，比如在[1,100]的区间内就只有6个（6，8，66，68，86，88），于是他又定义了一种“近似幸运号码”。lxhgww规定，凡是“幸运号 码”的倍数都是“近似幸运号码”，当然，任何的“幸运号码”也都是“近似幸运号码”，比如12，16，666都是“近似幸运号码”。 现在lxhgww想知道在一段闭区间[a, b]内，“近似幸运号码”的个数。

Input

输入数据是一行，包括2个数字a和b

Output

输出数据是一行，包括1个数字，表示在闭区间[a, b]内“近似幸运号码”的个数

HINT

【数据范围】
对于$30\%$的数据，保证$1 \leqslant a \leqslant b \leqslant1000000$
对于$100\%$的数据，保证$1 \leqslant a \leqslant b \leqslant 10000000000$

 

　　这道题一开始我还以为需要用到什么神奇的数学推导，或者一些什么奇妙的数学公式，然后看了题解之后发现是一道搜索题……

　　一个非常显然的事实就是幸运号码不会太多。把表打出来，就会发现在$10^{10}$以内的幸运数只有$2000$多一点……

　　这个时候一个非常显然的想法就是对这些数进行容斥，即加上每个数的倍数个数，减去两个数的倍数个数，加上三个的，……以此类推。

　　这样的复杂度显然是不对的，理论上可达$O(2^x)$，其中$x$为幸运数个数。但是由于多个数的倍数不能超过右边界，就可以减一大刀，实际复杂度低了不知道多少。

　　但是这样任然不够。我们还可以对幸运数进行处理，将其中是另外的幸运数的倍数的数给去掉。这样可以将需要考虑的数的个数减掉一半左右。

　　最后还有一个小优化，那就是将最后需要处理的幸运数按从大到小排好序。这样可以让乘积尽早变得更大，可以减掉许多不必要的计算。

　　加了上述优化，就差不多可以$AC$了。

　　下面贴代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define File(s) freopen(s".in","r",stdin),freopen(s".out","w",stdout)
#define maxn 10010

using namespace std;
typedef long long llg;

int la,lb,ci;
llg now,ans,mi[15],l,r;
llg a[maxn],b[maxn];

void search(int d){
	if(now>r) return;
	llg xx=now;
	now=xx+6*mi[d]; search(d+1);
	now=xx+8*mi[d]; search(d+1);
	if(xx) a[++la]=xx; now=xx;
}

llg gcd(llg a,llg b){
	llg r=a%b;
	while(r) a=b,b=r,r=a%b;
	return b;
}

void dfs(int j){
	if(j==lb+1){
		if(!ci) return;
		if(ci&1) ans+=r/now-(l-1)/now;
		else ans-=r/now-(l-1)/now;
		return;
	}
	dfs(j+1); llg xx=now; ci++;
	now=xx/gcd(xx,b[j]);
	if((double)now*b[j]<=r){
		now*=b[j];
		if(now<=r) dfs(j+1);
	}
	ci--; now=xx;
}

int main(){
	File("a");
	mi[0]=1;
	for(int i=1;i<=10;i++) mi[i]=mi[i-1]*10;
	scanf("%lld %lld",&l,&r);
	search(0); sort(a+1,a+la+1);
	for(int i=1;i<=la;i++){
		b[++lb]=a[i];
		for(int j=1;j<lb;j++)
			if(a[i]%b[j]==0){lb--; break;}
	}
	for(int i=1;i<=lb/2;i++) swap(b[i],b[lb-i+1]);
	now=1; dfs(1);
	printf("%lld",ans);
	return 0;
}