[问题2014S12]  设 \(A,B\) 都是 \(n\) 阶半正定实对称阵, 证明: \(AB\) 的所有特征值都是非负实数. 进一步, 若 \(A,B\) 都是正定实对称阵, 证明: \(AB\) 的所有特征值都是正实数. [公告]  关于本学期复旦高等代数II(13级)每周一题,新题的公布到第十五教学周为止(即本学期一共公布 15 道思考题), 解答的公布到第十七教学周为止(通常滞后两周). [推荐]  请 13 级的同学到以下网址下载<数学之美,吴军著>一书,希望即将学完一年大学数…

[问题2014S06]  试用有理标准型理论证明13级高等代数I期末考试最后一题: 设 \(V\) 为数域 \(K\) 上的 \(n\) 维线性空间,  \(\varphi\) 为 \(V\) 上的线性变换, 且存在非零向量 \(\alpha\in V\) 使得 \[V=L(\alpha,\varphi(\alpha),\varphi^2(\alpha),\cdots).\] 设 \(f(x)\) 是 \(\varphi\) 的特征多项式, 并且 \(f(x)\) 在数域 \(K\) 上至少有两…

[问题2014S03]  设 \(A\in M_n(\mathbb R)\) 是非异阵并且 \(A\) 的 \(n\) 个特征值都是实数. 若 \(A\) 的所有 \(n-1\) 阶主子式之和等于零, 证明: 存在 \(A\) 的一个 \(n-2\) 阶主子式, 其符号与 \(|A|\) 的符号相反. 注  上述问题略微推广了13级缪欣晨同学问我的一道考研试题.…

[问题2014S07]  设 \(A\in M_n(\mathbb{K})\) 在数域 \(\mathbb{K}\) 上的初等因子组为 \(P_1(\lambda)^{e_1},P_2(\lambda)^{e_2},\cdots,P_k(\lambda)^{e_k}\), 其中 \(P_i(\lambda)\) 是 \(\mathbb{K}\) 上的不可约多项式, \(e_i>0,\,i=1,2,\cdots,k\). 设 \(F(P_i(\lambda)^{e_i})\) 为相伴于多项式 \(…

[问题2014S08]  设分块上三角阵 \[A=\begin{bmatrix} A_1 & B \\ 0 & A_2 \end{bmatrix},\] 其中 \(m\) 阶方阵 \(A_1\) 的 Jordan 标准型为 \(J_1\), \(n\) 阶方阵 \(A_2\) 的 Jordan 标准型为 \(J_2\), 并且 \(A_1,A_2\) 没有公共的特征值. 证明: 矩阵 \(A\) 的 Jordan 标准型就是 \[\begin{bmatrix} J_1 & 0 \\…

[问题2014S04]  设 \(A\in M_n(\mathbb{C})\) 为可对角化的 \(n\) 阶复方阵, \(f(x)\in\mathbb{C}[x]\) 为复系数多项式, 证明: \[B=\begin{bmatrix} A & f(A) \\ f(A) & A \end{bmatrix}\] 也可对角化.…

[问题2014S05]  设 \(A,B\) 分别是 \(4\times 3\) 和 \(3\times 4\) 实矩阵, \[ BA=\begin{pmatrix}-9 & -20 & -35 \\2 & 5 & 7 \\2 & 4 & 8\end{pmatrix},\,AB=\begin{pmatrix}9a-14 & 0 & 9a-15 & 18a-32 \\6a+2b-9 & 1 & 6a+3b-9 &…

[问题2014S11]  设 \(A,B\) 为 \(n\) 阶实对称阵, \(p(A),p(B),p(A+B)\) 分别为 \(A,B,A+B\) 的正惯性指数, 证明: \[p(A)+p(B)\geq p(A+B).\]…

[问题2014S13]  (1)  设 \(A\) 是数域 \(\mathbb{K}\) 上的 \(n\) 阶非异阵, 若存在主对角元全为 \(1\) 的下三角阵 \(L\in M_n(\mathbb{K})\) 以及上三角阵 \(U\in M_n(\mathbb{K})\) 使得 \(A=LU\), 则称方阵 \(A\) 存在 \(LU\) 分解 (\(L\) 表示下三角, \(U\) 表示上三角). 证明: \(n\) 阶非异阵 \(A\) 存在 \(LU\) 分解的充分必要条件是 \(A\…

[问题2015S02]  设 \(a,b,c\) 为复数且 \(bc\neq 0\), 证明下列 \(n\) 阶方阵 \(A\) 可对角化: \[A=\begin{pmatrix} a & b &   &   & & \\ c & a & b &   & & \\  & c & a & b & & \\ &   & \ddots & \ddots & \d…