知识储备 扩展欧几里得定理 欧几里得定理 (未掌握的话请移步[扩展欧几里得]) 正题 设存在ax+by=gcd(a,b),求x,y.我们已经知道了用扩欧求解的方法是递归,终止条件是x==1,y==0: int exgcd( int a, int b, int &x, int &y ) { ) { x = ; y = ; return a; } int tmp = a % b; if( tmp > b ) swap( tmp, b ); int ans=exgcd(b,a%b,x,y)…

d.用2种砝码,质量分别为a和b,称出质量为d的物品.求所用的砝码总数量最小(x+y最小),并且总质量最小(ax+by最小). s.扩展欧几里得求解不定方程. 设ax+by=d. 题意说不定方程一定有解.对于不定整数方程pa+qb=c,若 c mod Gcd(p, q)=0,则该方程存在整数解,否则不存在整数解. 也就是说,d mod gcd(a,b)=0. a,b,d同时除以gcd(a,b)得到a'x+b'y=d'; 用扩展欧几里德求出 a'x+b'y=gcd(a',b')=1的解(x,y),…

推荐:https://www.zybuluo.com/samzhang/note/541890 扩展欧几里得,就是求出来ax+by=gcd(x,y)的x,y 为什么有解? 根据裴蜀定理,存在u,v使得au+bv=gcd(x,y) 证明: 这里面,c,e,就是所谓的u,v 对于ax+by=gcd(a,b) 因为gcd(a,b)=gcd(b,a%b) ax+by=gcd(a,b) bx1+(a%b)y1=gcd(b,a%b) 可以变成:ax+by=bx1+(a%b)y1 就是:ax+by=bx1+(…

题目描述 两只青蛙在网上相识了,它们聊得很开心,于是觉得很有必要见一面.它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上,于是它们约定各自朝西跳,直到碰面为止.可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情,既没有问清楚对方的特征,也没有约定见面的具体位置.不过青蛙们都是很乐观的,它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去,总能碰到对方的.但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上,不然是永远都不可能碰面的.为了帮助这两只乐观的青蛙,你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是否能够碰面,会在什么时候碰面. 我们把这两只青蛙分别叫…

设方程 ax + by = c , 若 gcd(a,b) 是 c的因子(记作gcd(a,b)|c)则方程有解,反之无解. 其中x0,y0是方程的一组特解 , d = gcd(a,b), poj1061模型转化为(n-m)* t + L * k  = x - y  ,其中t和k是未知参数,形同ax+by = c 的形式,用extgcd即可求出x的一个特解,再通过这个特解找到x的最小正整数解就可以了. AC代码: #include<cstdio> #include<algorithm>…

题目链接: http://codeforces.com/problemset/problem/710/D 题目大意: 两个等差数列a1x+b1和a2x+b2,求L到R区间内重叠的点有几个. 0 < a1, a2 ≤ 2·109,  - 2·109 ≤ b1, b2, L, R ≤ 2·109, L ≤ R). 题目思路: [数论][扩展欧几里得] 据题意可得同余方程组 x=b1(mod a1) 即 x=k1*a1+b1 x=b2(mod a2) x=k2*a2+b2 化简,k1*a1=k2*a2…

题目链接 定理:对于方程\(ax+by=c\),等价于\(a*x=c(mod b)\),有整数解的充分必要条件是c是gcd(a,b)的整数倍. ——信息学奥赛之数学一本通 避免侵权.哈哈. 两只青蛙跳到一格才行,所以说 \(x+mt=y+nt(mod l) \) \((x-y)+(m-n)t=0(mod l)\) \((m-n)t+ls=(y-x)  s属于整数集\) 令a=n-m,b=l,c=gcd(a,b),d=x-y 则有\( at+bs=d\) 扩展欧几里得求解. 设c=gcd(a,b)…

题目大意: 给定序列a[] , p , b 希望找到一个序列 x[] , 使a1*x1 + a2*x2 + ... + an*xn = b (mod p) 这里很容易写成 a1*x1 + a2*x2 + ... + an*xn + yp = b -> a1*x1 + a2*x2 + ... + an*xn + y1*p + y2*p + .... + yn*p = b ->(a1*x1+y1*p) + (a2*x2+y2*p) + ... + (an*xn+yn*p) = b y[]是必然有解…

题意:很明显,我就不说了 分析:令n=2^k,因为A,B,C<n,所以取模以后不会变化,所以就是求(A+x*C)%n=B 转化一下就是求 C*x=B-A(%n),最小的x 令a=C,b=B-A 原式等于ax=b(mod n) 这就是标准的解模线性方程 该方程有解的充要条件是d=gcd(n,a) && d|b(可以根据这一条判断是否FOREVER) 然后参考算法导论应用扩展欧几里得求解x a*x0+n*y0=d x=x0*(b/d)(mod n) 然后应用多解条件求最小正整数解,即解的…

/** 题目:UVA 12169 Disgruntled Judge 链接:https://vjudge.net/problem/UVA-12169 题意:原题 思路: a,b范围都在10000以内.暴力枚举1e8:但是还要判断.所以时间不够. 如果可以枚举a,然后算出b,再判断可行性,那么时间上是可行的.但是是多次方的方程无法解. 想其他办法: xi = (a*xi-1 + b) % 10001 xi+1 = (a*xi+b)%10001 xi+2 = (a*xi+1+b)%10001 =>…

题意:本题给出一个直线,推断是否有整数点在这条直线上: 分析:本题最重要的是在给出的直线是不是平行于坐标轴,即A是不是为0或B是不是为0..此外.本题另一点就是C输入之后要取其相反数,才干进行扩展欧几里得求解 关于扩展欧几里得详见:http://blog.csdn.net/qq_27599517/article/details/50888092. 代码例如以下: #include <set> #include <map> #include <stack> #includ…

题意:两只青蛙在网上相识了,它们聊得很开心,于是觉得很有必要见一面.它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上,于是它们约定各自朝西跳,直到碰面为止.可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情,既没有问清楚对方的特征,也没有约定见面的具体位置.不过青蛙们都是很乐观的,它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去,总能碰到对方的.但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上,不然是永远都不可能碰面的.为了帮助这两只乐观的青蛙,你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是否能够碰面,会在什么时候碰面. 我们把这两只青蛙分别叫做青…

前言 扩展欧几里得算法是一个很好的解决同余问题的算法,非常实用. 欧几里得算法 简介 欧几里得算法,又称辗转相除法. 主要用途 求最大公因数\(gcd\). 公式 \(gcd(a,b)=gcd(b,a\%b)\) 公式证明 \(a\)可以表示成\(a=kb+a\%b\)(\(k\)为自然数). 假设\(g\)是\(a,b\)的一个公约数,则有\(g|a, g|b\). \(\because a\%b=a-kb\), \(\therefore g|(a\%b),\therefore g\)是\(b…

关于扩展欧几里得从寒假时就很迷,抄题解过了同余方程,但是原理并不理解. 今天终于把坑填上了qwq. 由于本人太菜,不会用markdown,所以这篇总结是手写的(什么).(字丑不要嫌弃嘛) ********Update9.28********** 刚刚我们求出的是一组特值,那么如何求通值? 约定:设x0,y0为一组特解,t为任意整数,设a>b(不行再交换) 那么有 x=x0+b/gcd*t y=y0-a/gcd*t ******************************* 奉上三道例题: E…

题目描述 求关于 x 的同余方程 ax ≡ 1 (mod b)的最小正整数解. 输入输出格式 输入格式: 输入只有一行,包含两个正整数 a, b,用一个空格隔开. 输出格式: 输出只有一行,包含一个正整数 x0,即最小正整数解.输入数据保证一定有解. 输入输出样例 输入样例#1: 复制 3 10 输出样例#1: 复制 7 说明 [数据范围] 对于 40%的数据,2 ≤b≤ 1,000: 对于 60%的数据,2 ≤b≤ 50,000,000: 对于 100%的数据,2 ≤a, b≤ 2,000,0…

最近想学数论 刚好今天(初赛上午)智推了一个数论题 我屁颠屁颠地去学了乘法逆元 然后水掉了P3811 和 P2613 (zcy吊打集训队!)(逃 然后才开始做这题. 乘法逆元 乘法逆元的思路大致就是a*x恒等于1(mod b)满足a,b互质,则x为a的逆元 这里给一个P2613的函数 void exgcd(int a, int b, int &d, int &x,int &y) { ) { d = a; x = ; y = ; return; } exgcd(b, a%b, d,…

青蛙的约会 Time Limit: 1000MS   Memory Limit: 10000K Total Submissions:132162   Accepted: 29199 Description 两只青蛙在网上相识了,它们聊得很开心,于是觉得很有必要见一面.它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上,于是它们约定各自朝西跳,直到碰面为止.可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情,既没有问清楚对方的特征,也没有约定见面的具体位置.不过青蛙们都是很乐观的,它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去,总能…

题目链接 题意 : 给你一个同余方程, x*x ≡ x  (mod n),让你求出所有的小于n的x. 思路 : 先来看同余的概念 :给定一个正整数m,如果两个整数a和b满足a-b能被m整除,即m|(a-b),那么就称整数a与b对模m同余,记作a≡b(mod m).对模m同余是整数的一个等价关系. 因此题目中给定的式子可以写成:(x*x-x)/n=k.也就是说(x*x-x)是n的整数倍,取余n是0. 因为n=p*q,而且gcd(p,q)=1 ;所以上式可以写为,x*(x-1)/(p*q)=k. 让…

题意 $n \times n$的网格,有$m$个苹果树,选择一个点出发,每次增加一个偏移量$(dx, dy)$,最大化经过的苹果树的数量 Sol 上面那个互素一开始没看见,然后就GG了 很显然,若$n$和$dx$互素的话,每个$x$都能到达 我们预处理出在每个点$x = 0$时的$y$,取一下最大值即可 求解需要用到扩展欧几里得 /* */ #include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> #include<…

链接: https://www.acwing.com/problem/content/205/ 题意: 求关于x的同余方程 ax ≡ 1(mod b) 的最小正整数解. 思路: 首先:扩展欧几里得推导. 有ax+by = gcd(a, b) = gcd(b, a%b), ax+by = bx+(a%b)y ax+by = bx+(a-(a/b)b)y ax+by = bx + ay-(a/b)by ax+by = ay + b(x-a/by) 有x' = y, y' = x-a/by 递归求解…

Uva12169(扩展欧几里得) 题意: 已知 $x_i=(a*x_{i-1}+b) mod 10001$,且告诉你 $x_1,x_3.........x_{2t-1}$, 让你求出其偶数列 解法: 令$ x_2=(ax_1+b)mod 10001$,$x_3= (ax_2+b)mod 10001$ 解得:$x_3+10001k=a^{2}x_1+( a + 1) b$ 移像得:$x_3 - a^{2}x_1=( a + 1) b - 10001k$ 把 $b$ 和$(-k)$看成是未知数,这就…

题目大意:有3个整数 x[1], a, b 满足递推式x[i]=(a*x[i-1]+b)mod 10001.由这个递推式计算出了长度为2T的数列,现在要求输入x[1],x[3],......x[2T-1], 输出x[2],x[4]......x[2T]. T<=100,0<=x<=10000. 如果有多种可能的输出,任意输出一个结果即可. 由于a和b都小于等于10000,直接枚举a和b暴力可以过.但是有没有更快的方法呢? 首先令递推式的i=2,那么x[2]=(a*x[1]+b)mod 1…

来源:http://www.cnblogs.com/zxhl/p/5106678.html 大致题意:给你n个球,给你两种盒子.第一种盒子每个盒子c1美元,可以恰好装n1个球:第二种盒子每个盒子c2元,可以恰好装n2个球.找出一种方法把这n个球装进盒子,每个盒子都装满,并且花费最少的钱. 假设第一种盒子买n1个,第二种盒子买n2个,则c1*n1+ c2*n2= n.由扩展欧几里得 ax+by= gcd(a,b)= g ,(a=n1,b=n2),如果n%g!=0,则方程无解. ax+by=gcd(…

扩展欧几里得模板套一下就A了,不过要注意刚好整除的时候,代码中有注释 #include <iostream> #include <cstdio> #include <cstring> #include <cmath> #include <algorithm> using namespace std; typedef long long ll; ll exgcd(ll a, ll b, ll&x, ll&y) { ) { x = ;…

Problem: n个人(偶数)排队,排两行,每一行的身高依次递增,且第二行的人的身高大于对应的第一行的人,问有多少种方案.mod 1e9+9 Solution: 这道题由1,2,5,14 应该想到Catalan数,但是我却花了两个小时去找递推式. 首先 Catalan数 : 基本规律:1,2,5,14,42,132,.......... 典型例题: 1.多边形分割.一个多边形分为若干个三角形有多少种分法. C(n)=∑(i=2...n-1)C(i)*C(n-i+1) 2.排队问题:转化为n个人…

Line Time Limit: 1000MS   Memory Limit: 262144KB   64bit IO Format: %I64d & %I64u Submit Status Description A line on the plane is described by an equation Ax + By + C = 0. You are to find any point on this line, whose coordinates are integer numbers…

题意:给出x 和k,求解p和q使得等式x = p[x / k] + q [ x / k], 两个[x / k]分别为向下取整和向上取整 题解:扩展欧几里得 //meek///#include<bits/stdc++.h> #include <iostream> #include <cstdio> #include <cmath> #include <string> #include <cstring> #include <alg…

扩展欧几里得的应用……见算法竞赛入门经典p.179 注意两点:1.解不等式的时候除负数变号 2.各种特殊情况的判断( a=0 && b=0 && c=0 ) ( a=0 && b=0 && c!=0 ) ( a=0 && b!=0 )( a!=0 && b=0 ) 能加深对扩展欧几里得的理解,不错的一题 #include <cstdio> #include <cstring> #incl…

1204 大体推推 会出来这个式子 x(x-1) = k*n;n = p*q ;x(x-1)%(p*q)==0; 因为p,q都为素数 那也就是说x和x-1中必定包含这两个数 而且一个里面只能有一个 不然会大于等于N 当上面的k=0时 x=0||x=1 这是固定的 然后 {x-pi=0; (x-1)-qi = 1}化这一组 就会变成pi-qi=1 这就变成了扩展欧几里得 必定存在一组解 解出来带入一下 注意一下负数就可以了 下一组同样这样计算 {x-pi=1; (x-1)-qi = 0} #inc…

Problem Description 要求(A/B)%9973,但由于A很大,我们只给出n(n=A%9973)(我们给定的A必能被B整除,且gcd(B,9973)= 1). Input 数据的第一行是一个T,表示有T组数据. 每组数据有两个数n(0 <= n < 9973)和B(1<= B <= 10^9). Output 对应每组数据输出(A/B)%9973. Sample Input 2 1000 53 87 123456789 Sample Output 7922 6060…