prufer是无根树的一种编码方式,一棵无根树和一个prufer编码唯一对应,也就是一棵树有唯一的prufer编码,而一个prufer编码对应一棵唯一的树. 第一部分:树编码成prufer序列. 树编码成prufer序列的方式是:prufer序列初始为空.每次从树上选出一个编号最小的叶子节点,然后将与该叶子节点相邻的那个节点的编号写入prufer序列的末尾,之后从树上删掉这个叶子节点.循环这个步骤n-2次,最后得到一个长度为n-2的prufer序列(此时树中只有一条边,我们就不管它了). 我们以…

既然有人提到了,就顺便学习一下吧,来源:http://greatkongxin.blog.163.com/blog/static/170097125201172483025666/ 一个含有n个点的完全图,有n^(n-2)种不同的生成树 prufer编码是用另外一种形式来描述一棵树,这棵树是无根树,它可以和无根树之间形成一一对应关系. 编码方式是: 这是一颗无根树,这课树的prufer编码为5,5,4,4,4,6. 首先选这棵树叶子中编号最小的点,将这个点删除,并且把它的邻接点加入一个数组中,例…

Description 一开始森林里面有N只互不相识的小猴子,它们经常打架,但打架的双方都必须不是好朋友.每次打完架后,打架的双方以及它们的好朋友就会互相认识,成为好朋友.经过N-1次打架之后,整个森林的小猴都会成为好朋友. 现在的问题是,总共有多少种不同的打架过程. 比如当N=3时,就有{1-2,1-3}{1-2,2-3}{1-3,1-2}{1-3,2-3}{2-3,1-2}{2-3,1-3}六种不同的打架过程. Input 一个整数N. Output 一行,方案数mod 9999991. S…

原文链接https://www.cnblogs.com/zhouzhendong/p/CF1109D.html 题意 所有边权都是 [1,m] 中的整数的所有 n 个点的树中,点 a 到点 b 的距离恰好是 m 的有几个. $$n,m\leq 10^6$$ 题解 首先显然 a 和 b 的具体值是没用的. 于是我们就可以直接计数: 枚举树链 ab 上除了 a 和 b 有几个节点,假设是 i 个节点,那么这种情况下的方案总数是多少? 首先,ab 路径上 i+1 条 [1,m] 的边的和是 m ,共有…

看51nod的一场比赛,发现不会大家都A的一道题,有关prufer的 我去年4月就埋下prufer这个坑,一直没解决 prufer编码是什么 对于一棵无根树的生成的序列,prufer序列可以和无根树一一对应,具体可以参见百科和poj2567和poj2568两个题. prufer序列用来计数 \(n\) 个点的无向完全图的生成树的个数为 \(n^{n-2}\) .即prufer序列的长度为 \(n-2\),每个点的值是1 到 \(n\) \(n\) 个节点的度依次为 \(D_1\),\(D_2\)…

BZOJ1430:运用Cayley定理解决树的形态统计问题 由Prufer编码可以引申出来一个定理:Cayley 内容是不同的n结点标号的树的数量为n^(n-2) 换一种说法就是一棵无根树,当知道结点总数的时候,其最多可能有n^(n-2)种形态 这只是形态而已 对于BZOJ1430这道题 题目的打架关系可以用无根树来描述 除了形态之外,还要考虑打架的顺序,一共(n-1)!种 乘起来即可 #include<cstdio> ; int n; ; int main() { scanf("%…

BZOJ1211:使用prufer编码解决限定结点度数的树的计数问题 首先学习一下prufer编码是干什么用的 prufer编码可以与无根树形成一一对应的关系 一种无根树就对应了一种prufer编码 先介绍编码过程: 选择无根树中度数为1的最小编号节点(也就是编号最小的叶子节点),将其删除,把它的邻接点加入数组 不断执行上述操作直到树中仅剩两个节点 解码过程: 顺序扫描prufer编码数组,将扫到的第一个节点记为节点u,寻找不在prufer编码中的没有被标记的最小编号的节点v 连接u-v并把v标…

Brief Description 给出标号为1到N的点,以及某些点最终的度数,允许在 任意两点间连线,可产生多少棵度数满足要求的树? Algorithm Design 结论题. 首先可以参考这篇文章了解一下什么是Prufer编码: Cayley公式是说,一个完全图\(K_n\)有\(n^{n-2}\)棵生成树,换句话说n个节点的带标号的无根树有\(n^{n-2}\)个.今天我学到了Cayley公式的一个非常简单的证明,证明依赖于Prüfer编码,它是对带标号无根树的一种编码方式. 给定一棵带标…

[题目链接] http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1430 [题目大意] 一开始森林里面有N只互不相识的小猴子,它们经常打架, 但打架的双方都必须不是好朋友.每次打完架后,打架的双方以及它们的好朋友就会互相认识, 成为好朋友.经过N-1次打架之后,整个森林的小猴都会成为好朋友. 现在的问题是,总共有多少种不同的打架过程. 比如当N=3时,就有{1-2,1-3}{1-2,2-3}{1-3,1-2}{1-3,2-3}{2-3,1-2}{2-…

树 Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 256 MB Description Input Output Sample Input 3 2 2 1 Sample Output   3 3 2 HINT Solution 由于是带标号的无根树的计数,于是我们运用prufer编码的性质来解题. prufer编码的几个性质: 1.对于大小为s的树,prufer编码是一个长度为 s-2 的序列: 2.i在序列中出现的次数<deg[i]: 3.一个prufer编码表示一棵树.…

题目描述 给定一个完全图,保证\(w_{u,v}=w_{v,u}\)且\(w_{u,u}=0\),等概率选取一个随机生成树,对于每一对\((u,v)\),求\(dis(u,v)\)的期望值对\(998244353\)取模. 输入 第一行一个数\(n\) 接下来\(n\)行,每行\(n\)个整数,第\(i\)行第\(j\)个整数表示\(w_{i,j}\) 输出 输出共\(n\)行,每行\(n\)个整数,第\(i\)行第\(j\)个整数表示\(dis(i,j)\)的期望值 样例 样例输入 4 0 1…

[HNOI2008]明明的烦恼 Time Limit: 1 Sec  Memory Limit: 162 MBSubmit: 5907  Solved: 2305[Submit][Status][Discuss] Description 自从明明学了树的结构,就对奇怪的树产生了兴趣......给出标号为1到N的点,以及某些点最终的度数,允许在任意两点间连线,可产生多少棵度数满足要求的树? Input 第一行为N(0 < N < = 1000),接下来N行,第i+1行给出第i个节点的度数Di,如…

本文介绍北京大学ACM网站2567号题目的解法.介绍部分基本翻译自网站上的题目介绍. 题目介绍:    给定一棵各节点编号为整数1,2,3...n的树(例如,无环连通图),其Prufer编码(Prufer code,不知道有没有标准的译法,用金山词霸没有查到,用Google也没有搜索到)构造方法如下:从树中去掉编号值最小的叶子节点(仅与一条边邻接的节点),以及与它邻接的边后,记下与它邻接的节点的编号.在树中重复这个过程,知道只剩下一个节点(总是编号为n的节点)为止.记下的n-1个编号序列就是树的…

题意 n个点问有多少种有顺序的连接方法把这些点连成一棵树. (n<=106) 题解 了解有关prufer编码与Cayley定理的知识. 可知带标号的无根树有nn-2种.然后n-1条边有(n-1)!的先后连接顺序. 所以答案为nn-2(n-1)! #include<iostream> #include<cstring> #include<cstdio> #include<cmath> #include<algorithm> using nam…

1005: [HNOI2008]明明的烦恼 Time Limit: 1 Sec  Memory Limit: 162 MBSubmit: 5768  Solved: 2253[Submit][Status][Discuss] Description 自从明明学了树的结构,就对奇怪的树产生了兴趣......给出标号为1到N的点,以及某些点最终的度数,允许在 任意两点间连线,可产生多少棵度数满足要求的树? Input 第一行为N(0 < N < = 1000), 接下来N行,第i+1行给出第i个节…

prufer 编码 对于一个无根树,他的 prufer 编码是这样确定的: 每次找到编号最小的一个叶子节点,也就是度数为\(1\)的节点,把和它相连的点,加入 prufer 编码序列的末尾,然后把这个点从树中删掉 如果当前树只有两个节点了,就停止 那么,通过给定的无根树求 prufer 编码就很简单了 比如下面这个无根树,它的 prufer 编码就是\(\texttt{125214}\) 这个 prufer 编码有一些很显然的性质 首先长度肯定是\(n-2\),但每个元素可能相同,然后对于每个无…

Prufer 编码可以将无根树与序列之间进行转化. 一个 \(n\) 个点.区分编号的无向图 和 Prufer 序列一定是一一对应的,下面会给出映射方式. 借此可以证明 Cayley 定理: \(n\) 个点的无根.区分编号生成树个数为 \(n ^ {n-2}\) 无根树转序列 设一棵 \(n\) 个节点的无根树,写出转化为 Prufer 序列的步骤: 找到编号最小的叶节点 \(x\),把 \(x\) 相邻的点加入序列,然后,删掉 \(x\) 当点数 \(= 2\) 时,终止(若不终止这次输出的…

这不prufer编码吗,防爆long long就行了啊 #include <iostream> #include <cstdio> #include <cstring> #include <algorithm> #include <cmath> #define R(a,b,c) for(register int a = (b); a <= (c); ++ a) #define nR(a,b,c) for(register int a = (…

  Prufer数列 Prufer数列是无根树的一种数列.在组合数学中,Prufer数列由有一个对于顶点标过号的树转化来的数列,点数为n的树转化来的Prufer数列长度为n-2.它可以通过简单的迭代方法计算出来.它由Heinz Prufer于1918年在证明cayley定理时首次提出. 目录 1将树转化成Prufer数列的方法 2将Prufer数列转化成树的方法     将树转化成Prufer数列的方法 一种生成Prufer序列的方法是迭代删点,直到原图仅剩两个点.对于一棵顶点已经经过编号的树T…

背景(在codeforces 917D 报废后,看题解时听闻了这两个玩意儿.实际上917D与之“木有关西”,也可以认为是利用了prufer的一些思路.) 一棵标号树的Pufer编码规则如下:找到标号最小的叶子节点,输出与它相邻的节点到prufer 序列, 将该叶子节点删去,反复操作,直至剩余2个节点. 因为有n-2位,每位可以等于1,2,……,n,所以对应着有nn-2种生成树. 即Cayley定理(在组合数学中的应用):有n个标志节点的树的数目等于nn-2.(在一个n阶完全图的所有生成树的数量为…

Description 自从明明学了树的结构,就对奇怪的树产生了兴趣......给出标号为1到N的点,以及某些点最终的度数,允许在任意两点间连线,可产生多少棵度数满足要求的树? Input 第一行为N(0 < N < = 1000),接下来N行,第i+1行给出第i个节点的度数Di,如果对度数不要求,则输入-1 Output 一个整数,表示不同的满足要求的树的个数,无解输出0 Sample Input 3 1 -1 -1 Sample Output 2 HINT 两棵树分别为1-2-3;1-3-…

Description 给定一棵树每个节点度的限制为di,求有多少符合限制不同的树. Solution 发现prufer码和度数必然的联系 prufer码一个点出现次数为它的度数-1 我们依然可以把树转成序列进行处理 只是每个元素出现次数受到了限制 于是就是有重复元素的排列问题了 公式很好推 Code 特殊情况判一判 #include<cstdio> #include<algorithm> #include<cstring> #define ll long long u…

Description 一开始森林里面有N只互不相识的小猴子,它们经常打架,但打架的双方都必须不是好朋友.每次打完架后,打架的双方以及它们的好朋友就会互相认识,成为好朋友.经过N-1次打架之后,整个森林的小猴都会成为好朋友. 现在的问题是,总共有多少种不同的打架过程. 比如当N=3时,就有{1-2,1-3}{1-2,2-3}{1-3,1-2}{1-3,2-3}{2-3,1-2}{2-3,1-3}六种不同的打架过程.   Solution 有一种神奇的prufer码,这种码和一棵树一一对应. 由树…

原文链接https://www.cnblogs.com/zhouzhendong/p/51Nod1601.html 题目传送门 - 51Nod1601 题意 题解 首先我们考虑如何求答案. 我们将所有数字按照二进制位从高到低建到 Trie 上,按照 kruscal 思想,我们要保证先选较小的边. 于是我们很容易得出结论:在 Trie 上,设 $f(x) =$ 合并子树 $x$ 的所有叶子节点的代价,设 $L(x),R(x)$ 分别为 $x$ 的左右子树编号,则 $f(x)=f(L(x))+f(R…

1005: [HNOI2008]明明的烦恼 Time Limit: 1 Sec  Memory Limit: 162 MBSubmit: 5786  Solved: 2263[Submit][Status][Discuss] Description 自从明明学了树的结构,就对奇怪的树产生了兴趣......给出标号为1到N的点,以及某些点最终的度数,允许在任意两点间连线,可产生多少棵度数满足要求的树? Input 第一行为N(0 < N < = 1000),接下来N行,第i+1行给出第i个节点的…

题目链接 bzoj1211: [HNOI2004]树的计数 题解 prufer序 可重排列计数 代码 #include<bits/stdc++.h> using namespace std; #define int long long int n = 0; int b[10007]; int cnt[10007]; void Div(int x,int k = 1) { for(int j = 2;j * j <= x;++ j) { while(x % j == 0) { cnt[j]…

http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1005 这里讲得挺清楚的:http://www.cnblogs.com/zhj5chengfeng/p/3278557.html 对于有n个节点的树: prufer数列和一棵树一一对应. prufer数列有n-2个元素 prufer数列的构造与解析: 构造:n-2步,每一步在树中查找度为1的标号最小的点,并将这个点所在的边的另一个点放到prufer数列中,两个点的度均-1. 解析:将所有点的度赋值为…

题意:一个有n个结点的树,设它的结点分别为v1, v2, …, vn, 已知第i个结点vi的度数为di,问满足这样的条件的不同的树有多少棵. 其中1<=n<=150,输入数据保证满足条件的树不超过10^17个. 思路: Martix67: 一个有趣的推广是,n个节点的度依次为D1, D2, …, Dn的无根树共有(n-2)! / [ (D1-1)!(D2-1)!..(Dn-1)! ]个,因为此时Prüfer编码中的数字i恰好出现Di-1次. POPOQQQ: 注意此题无解需要输出0 当n!=1…

题意:给定一个一边点数为n,另一边点数为m,共有n*m条边的带标号完全二分图K_{n,m},求其生成树个数 mod p. 100%的数据:1 <= n,m,p <= 10^18 思路:这是一道结论(打表找规律)+教你快速幂和乘法 题 结论为:S=n^(m-1)*m^(n-1) 需要注意的是n,m过大,普通的快速幂与乘法会炸 所以需要手写乘法,类似于快速幂的形式将其转换为加法 2017.2.28:%%%CC的证明: 设两边为X侧,Y侧 考虑它们在Prufer序列中出现的位置与取值种数 生成树的最…

题意:有n个点和m条限制,每条限制限制了一个点的度数不能为某个数. 求合法的树的个数模10^9+7 n<=10^6 m<=17 思路:WYZ作业 首先m<=17显然是2^m容斥 枚举每一个限制有用或没用,考虑某一个约束情况下的方案数 Caylay定理:n个点的生成树的个数=n^(n-2) Prufer序列:一个长度为n-2的Prufer序列对应唯一的一棵n个节点的树,度数为a[i]的点在其中出现了(a[i]-1)次 考虑先在序列中填上所有的受约束条件的点,它们的方案数是C(n-2,a[1…