思路: 题目中的gcd(x,y)=d (x<=a,y<=b)可以转化成 求:gcd(x,y)=1 (1<=x<=a/d 1<=y<=b/d) 设 G(x,y)表示x<=a y<=b x,y互质 的数有多少组 F(a,b,k)表示有多少组x<=a y<=b gcd(x,y)>=k(注意是大于等于K) 这个很好求啊 就是(a/k)*(b/k) G(x,y)=P1*F(a,b,1)+P2*F(a,b,2)+P3*F(a,b,3)+-.+Px*F(…

思路: 同BZOJ1101 就是加个容斥 - http://blog.csdn.net/qq_31785871/article/details/54340241 //By SiriusRen #include <cstdio> #include <algorithm> using namespace std; #define N 50001 int prime[N],mu[N],vis[N],sum[N],tot; int a,b,c,d,k,n,ans,pos; int solv…

2440: [中山市选2011]完全平方数 Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 128 MBSubmit: 5473  Solved: 2679[Submit][Status][Discuss] Description 小 X 自幼就很喜欢数.但奇怪的是,他十分讨厌完全平方数.他觉得这些数看起来很令人难受.由此,他也讨厌所有是完全平方数的正整数倍的数.然而这丝毫不影响他对其他数的热爱. 这天是小X的生日,小 W 想送一个数给他作为生日礼物.当然他不能送一个小X讨厌…

最裸的莫比乌斯 #include<bits/stdc++.h> #define LL long long #define fi first #define se second #define mk make_pair #define pii pair<int, int> using namespace std; ; ; const int inf = 0x3f3f3f3f; const LL INF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f; ; int p[N], is[N],…

手动博客搬家: 本文发表于20171216 13:34:20, 原地址https://blog.csdn.net/suncongbo/article/details/78819470 URL: (Luogu)https://www.luogu.org/problem/show?pid=3455 (BZOJ)http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1101 题目大意: 有t次询问(\(t\le5e4\)), 每次给定a,b,d, 询问有多少对…

2440: [中山市选2011]完全平方数 Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 128 MBSubmit: 4805  Solved: 2325[Submit][Status][Discuss] Description 小 X 自幼就很喜欢数.但奇怪的是,他十分讨厌完全平方数.他觉得这些数看起来很令人难受.由此,他也讨厌所有是完全平方数的正整数倍的数.然而这丝毫不影响他对其他数的热爱. 这天是小X的生日,小 W 想送一个数给他作为生日礼物.当然他不能送一个小X讨厌…

题目链接:BZOJ - 2440 题目分析 首先,通过打表之类的方法可以知道,答案不会超过 2 * k . 那么我们使用二分,对于一个二分的值 x ,求出 [1, x] 之间的可以送出的数有多少个. 怎么来求呢?我们使用容斥原理. 先求出不能送的数(即含有平方因子的数)有多少个,然后用总数减去就可以了. 那么,就是 含有一个质数平方因子的数(2^2的倍数 + 3^2的倍数 + 5^2的倍数....) - 含有两个质数平方因子的数((2 * 3)^2的倍数 + (2 * 5)^2的倍数 + ...…

bzoj 2440 完全平方数 题意:找出第k个不是完全平方数的正整数倍的数. 例如 4  9  16  25 36什么的 通过容斥原理,我们减去所有完全数  4有n/4个,但是36这种会被重复减去, 所有我们还需要加上类似36的数,然后你会发现这些数前面的符号和他们开根号的 莫比乌斯函数一样 数据很大有1e9,如果先进行预处理再从头到尾找感觉不现实,考虑使用二分,枚举mid, 然后每次查找1到mid中不是完全平方数的正整数倍的数的个数 Orz:机制的二分使用 #include <iostrea…

BZOJ 2440 [中山市选2011]完全平方数 | 莫比乌斯函数 题面 找出第k个不是平方数的倍数的数(1不是平方数, \(k \le 10^9\)). 题解 首先二分答案,问题就转化成了求\([1, x]\)中有多少数不是平方数的倍数,设这个答案为\(Q(x)\). 根据容斥原理,\(Q(x)\)等于: [1, x] 0个质数的平方的倍数的数量(1的倍数的数量) [1, x] 1个质数的平方的倍数的数量 (如\(3^2=9\)的倍数的数量) [1, x] 2个质数的平方的倍数的数量 (如\…

题目链接 总感觉博客园的\(Markdown\)很..\(gouzhi\),可以看这的. 题意即求第\(k\)个无平方因子数. 无平方因子数(Square-Free Number),即分解之后所有质因数的次数都为1的数 可以想到莫比乌斯函数,假设\(n\)是答案,那么有\[k=n-\sum_{i=1}^n(1-|\mu(i)|)\] (从这里能看出\(x\)的上界,后面的\(\sum\)肯定是\(<\frac{n}{2}\)的,所以\(n\leq 2*k\)) 二分一个\(n\),求\([1,n…

Description 对于给出的n个询问,每次求有多少个数对(x,y),满足a≤x≤b,c≤y≤d,且gcd(x,y) = k,gcd(x,y)函数为x和y的最大公约数. Input 第一行一个整数n,接下来n行每行五个整数,分别表示a.b.c.d.k Output 共n行,每行一个整数表示满足要求的数对(x,y)的个数 Sample Input 2 2 5 1 5 1 1 5 1 5 2 Sample Output 14 3 HINT 100%的数据满足:1≤n≤50000,1≤a≤b≤50…

题目传送门(内部题92) 输入格式 一个整数$n$. 输出格式 一个答案$ans$. 样例 样例输入: 样例输出: 数据范围与提示 对于$20\%$的数据,$n\leqslant 10^6$. 对于$40\%$的数据,$n\leqslant 10^{12}$. 对于$100\%$的数据,$0\leqslant n\leqslant 10^{18}$. 题解 这道题里的小$\mu$其实就提示我们了$\mu$,也就是莫比乌斯函数. 那么,我们可以列出式子: $$ans=\sum \limits_{i…

2440: [中山市选2011]完全平方数 Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 128 MBSubmit: 3028  Solved: 1460[Submit][Status][Discuss] Description 小 X 自幼就很喜欢数.但奇怪的是,他十分讨厌完全平方数.他觉得这些数看起来很令人难受.由此,他也讨厌所有是完全平方数的正整数倍的数.然而这丝毫不影响他对其他数的热爱. 这天是小X的生日,小 W 想送一个数给他作为生日礼物.当然他不能送一个小X讨厌…

Description 小 X 自幼就很喜欢数.但奇怪的是,他十分讨厌完全平方数.他觉得这些 数看起来很令人难受.由此,他也讨厌所有是完全平方数的正整数倍的数.然而 这丝毫不影响他对其他数的热爱. 这天是小X的生日,小 W 想送一个数给他作为生日礼物.当然他不能送一 个小X讨厌的数.他列出了所有小X不讨厌的数,然后选取了第 K个数送给了 小X.小X很开心地收下了. 然而现在小 W 却记不起送给小X的是哪个数了.你能帮他一下吗? Input 包含多组测试数据.文件第一行有一个整数 T,表示测试 数…

先二分答案m,<=m的有m-∑(m/pi*pi)+∑(m/pi*pi*pj*pj)-……个符合题意的(容斥原理), 容斥系数就是莫比乌斯函数μ(预处理)... ------------------------------------------------------------------------ #include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #include<cmath>   us…

题目 题意:第Ki 个不是完全平方数的正整数倍的数. 对于一个数t,t以内的数里的非完全平方数倍数的个数:num=1的倍数的数量−一个质数平方数(9,25,49...)的倍数的数量+两个质数的积平方数(36,100,225...)的数量−三个质数balabala-- 所以   (然而这一坨是怎么推出来的呢?) u(i)就是莫比乌斯函数 求莫比乌斯函数代码: //递推 ll mu[100005]; void mobius(ll mn) { mu[1]=1; for(ll i=1;i<=mn;i++…

2440: [中山市选2011]完全平方数 Description 小 X 自幼就很喜欢数.但奇怪的是,他十分讨厌完全平方数.他觉得这些数看起来很令人难受.由此,他也讨厌所有是完全平方数的正整数倍的数.然而这丝毫不影响他对其他数的热爱. 这天是小X的生日,小 W 想送一个数给他作为生日礼物.当然他不能送一个小X讨厌的数.他列出了所有小X不讨厌的数,然后选取了第 K个数送给了小X.小X很开心地收下了. 然而现在小 W 却记不起送给小X的是哪个数了.你能帮他一下吗? Input 包含多组测试数据.文…

二分答案,然后用莫比乌斯函数作为容斥系数,计算当前枚举的mid内有几个满足要求的数 #include<iostream> #include<cstdio> #include<algorithm> using namespace std; const int N=50005; int t,k,mb[N],q[N],tot; bool v[N]; int read() { int r=0; char p=getchar(); while(p>'9'||p<'0'…

看到\( 10^10 \)的范围首先想到二分,然后把问题转化为判断\( [1,n] \)内有多少个是某个质数的平方和的数. 所以应该是加上是一个质数的平方的个数减去是两个质数的平方的个数加上是三个质数的平方的个数--注意到这正好是莫比乌斯函数反过来,所以 \( re-=mb[i]*n/(i*i) \) 即可 #include<iostream> #include<cstdio> using namespace std; const int N=300005; int p[N],to…

2440: [中山市选2011]完全平方数 Time Limit: 10 Sec Memory Limit: 128 MB Description 小 X 自幼就很喜欢数.但奇怪的是,他十分讨厌完全平方数.他觉得这些 数看起来很令人难受.由此,他也讨厌所有是完全平方数的正整数倍的数.然而 这丝毫不影响他对其他数的热爱. 这天是小X的生日,小 W 想送一个数给他作为生日礼物.当然他不能送一 个小X讨厌的数.他列出了所有小X不讨厌的数,然后选取了第 K个数送给了 小X.小X很开心地收下了. 然而现在…

莫比乌斯函数:http://wenku.baidu.com/view/fbec9c63ba1aa8114431d9ac.html Orz  PoPoQQQ…

题意:求\(\sum_{i = 1}^{n}\sum_{j = 1}^{n}lcm(i, j)\). 题解:虽然网上很多题解说用mu卡不过去,,,不过试了一下貌似时间还挺充足的,..也许有时间用phi试试? 因为是用的莫比乌斯函数求的,所以推导比大部分题解多...而且我写式子一般都比较详细,所以可能看上去很多式子,实际上是因为每一步都写了,几乎没有跳过的.所以应该都可以看懂的. 末尾的\(e\)函数是指的\(e[1] = 1\),\(e[x] = 0(x != 1)\)这样一个函数 \[\sum…

题意:给出n个数$a[i]$,每个数可以变成不大于它的数,现问所有数的gcd大于1的方案数.其中$(n,a[i]<=1e5)$ 思路:鉴于a[i]不大,可以想到枚举gcd的值.考虑一个$gcd(a_1,a_2,a_3…a_n)=d$,显然每个$a_i$的倍数都满足,有$\frac{a_i}{d}$种方案 那么一个d对答案的贡献为\[\prod_{i=1}^{min(a)}{\lfloor\frac{a_i}{d}\rfloor}    \] 但是所有的d计入会有重复情况,考虑容斥,对d进行素数分…

题意:给一个序列A,要求构造序列B,使得 Bi <= Ai, gcd(Bi) > 1, 1 <= i <= n, 输出构造的方法数. 析:首先这个题直接暴力是不可能解决的,可以先找出最大值mmax和最小值mmin,然后枚举每个gcd,也就是最大公约数d,那么其他数就应该是d 2*d 3*d 4*d ....如果把每个数的个数求出来.那么答案就是每一种 d 的数量的和,每一种的数量就是 a1 * a2 * a3 ... an,其中是 ai 是 第 i 个数所能取到 d 的数量. 这样…

http://172.20.6.3/Problem_Show.asp?id=1518最开始只想到了n^2的写法,肯定要超时的,所以要对求gcd的过程进行优化.首先是前缀和容斥,很好理解.第二个优化大致如下:u为莫比乌斯函数,t为gcd(x,y)为i的倍数的数的个数:满足gcd(x,y)=1的数字对的数量=sigma(1<=i<=min(x,y))u[i]*t[i];t[i]=(x/i)*(y-i);由小数向下取整可知有连续的i满足x/i为定值,y/i也是定值,所以可以分块计算,用u[i]的前缀…

Description 给出一个数字N 求\(\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\varphi(gcd(i,j))\) Input 第一行为一个正整数T,表示数据组数. 接下来T行为询问,每行包含一个正整数N. T<=5000,N<=10^7 Output 按读入顺序输出答案. Sample Input 1 10 Sample Output 136 sol 这种题,八成和欧拉函数或者莫比乌斯函数有关...... 那就推式子: \(\sum_{i=1}^{n}\sum_{i…

题意: $\sum\limits_{\begin{array}{*{20}{c}}{a < = x < = b}\\{c < = y < = d}\end{array}} {\gcd (x,y) = = k} $ 解题关键: 现令$f(i)$表示有多少对${(x,y)}$满足 ${\gcd (x,y) =  = d}$,$1 <  = x <  = n,1 <  = y <  = m$ $F(d)$为有多少对${(x,y)}$满足 ${\gcd (x,y)…

积性函数前n项和必看好文 https://blog.csdn.net/skywalkert/article/details/50500009 递归计算的时候要用map记忆化一下,前面的打表会比较快一点. AC代码 #include<bits/stdc++.h> using namespace std; ; typedef long long ll; map<ll,ll> ma; int check[maxn],prime[maxn],mu[maxn]; void Mobius(in…

[51Nod 1244] - 莫比乌斯函数之和 求∑i=1Nμ(i)\sum_{i=1}^Nμ(i)∑i=1N​μ(i) 开推 ∑d∣nμ(d)=[n==1]\sum_{d|n}\mu(d)=[n==1]d∣n∑​μ(d)=[n==1] 移项 μ(d)=[n==1]−∑d∣n,d<nμ(d)∴S(N)=∑i=1Nμ(i)=∑i=1N([i==1]−∑d∣i,d<iμ(d))=1−∑i=1N∑d∣i,d<iμ(d)\mu(d)=[n==1]-\sum_{d|n,d<n}\mu(d)\…

题目 链接 有$50000$次查询,对于给定的整数$a,b$和$d$,有多少正整数对$x$和$y$,满足$x \leq a$,$y \leq b$,并且$gcd(x, y)=d$.$1 \leq k \leq a,b \leq 50000$. 分析 求有多少对$(x,y)$满足$x \leq a$,$y \leq b$,并且 $gcd(x, y)=d$,等价于求有多少对$(x, y)$满足$x \leq \frac{a}{d}, y \leq \frac{b}{d}$并且$x, y$互质. 设$…